等差数列

本节导读

等差数列是数列部分的第一个重点。它的题型最丰富：选择题和填空题里常考求某一项、求公差、求前 $n$n 项和、判断等差中项；解答题里最常见的套路是「已知两个条件，求出首项和公差，写出通项，再求和」。这一节的公式不多，但每个都要熟练到能随手写出，并清楚各个量的含义。

学完这一节，你应该能判断一个数列是不是等差数列，会用通项公式和前 $n$n 项和公式求各个量，会用等差中项和下标和的性质简化计算，并掌握用首项 $a_1$a1​ 和公差 $d$d 列方程组的基本量法。

等差数列的定义与通项公式

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫公差，记作 $d$d。用式子表示就是

$$a_{n+1} - a_n = d \quad (n \in \mathbf{N}^*)$$an+1​−an​=d(n∈N∗)

注意公差是「后项减前项」。$d \gt 0$d>0 时数列递增，$d \lt 0$d<0 时递减，$d = 0$d=0 时是常数列。例如 $10, 7, 4, 1, \cdots$10,7,4,1,⋯ 的公差是 $-3$−3，是递减的等差数列。

通项公式是等差数列最基本的公式，它的推导很直观：第 $n$n 项等于首项加上 $n - 1$n−1 个公差：

$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$an​=a1​+(n−1)d

推广形式是 $a_n = a_m + (n - m)d$an​=am​+(n−m)d，已知任意一项和公差，都能求出别的项，不必绕回首项。从形式上看，$a_n = dn + (a_1 - d)$an​=dn+(a1​−d) 是关于 $n$n 的一次式，所以等差数列的各项在一条直线上。例如 $2, 5, 8, \cdots$2,5,8,⋯ 中，$d = 3$d=3，$a_n = 2 + 3(n - 1) = 3n - 1$an​=2+3(n−1)=3n−1，$a_{10} = 29$a10​=29。

等差中项与性质

如果 $a$a、$A$A、$b$b 成等差数列，那么 $A$A 叫 $a$a 与 $b$b 的等差中项，并且

$$A = \frac{a + b}{2}$$A=2a+b​

也就是说，等差数列中，除首末项以外的每一项，都是它前后两项的等差中项：$2a_n = a_{n-1} + a_{n+1}$2an​=an−1​+an+1​。

等差数列还有几条好用的性质：

性质	内容
项差公式	$a_n - a_m = (n - m)d$an​−am​=(n−m)d
下标和	若 $m + n = p + q$m+n=p+q，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$am​+an​=ap​+aq​
首末对称	$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = \cdots$a1​+an​=a2​+an−1​=a3​+an−2​=⋯
等间隔取项	每隔相同项数取出的项，仍成等差数列

下标和性质经常用来快速求值。例如等差数列中 $a_2 + a_8 = 10$a2​+a8​=10，因为 $2 + 8 = 5 + 5$2+8=5+5，所以 $a_5 + a_5 = 10$a5​+a5​=10，$a_5 = 5$a5​=5。

前 $n$n 项和公式

等差数列前 $n$n 项和 $S_n$Sn​ 有两个常用的写法：

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$$Sn​=2n(a1​+an​)​=na1​+2n(n−1)​d

第一个适合已知首项和末项，第二个适合已知首项和公差。第一个公式的来源，是把数列正着写一遍、倒着写一遍相加，每一对的和都是 $a_1 + a_n$a1​+an​，一共 $n$n 对，再除以 2。

例如 $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$1+2+3+⋯+100，$a_1 = 1$a1​=1，$a_{100} = 100$a100​=100，$S_{100} = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050$S100​=2100×(1+100)​=5050。再如首项 5、公差 3 的等差数列，前 8 项和 $S_8 = 8 \times 5 + \dfrac{8 \times 7}{2} \times 3 = 40 + 84 = 124$S8​=8×5+28×7​×3=40+84=124。

从形式上看，$S_n = \dfrac{d}{2}n^2 + \left(a_1 - \dfrac{d}{2}\right)n$Sn​=2d​n2+(a1​−2d​)n 是关于 $n$n 的二次函数，并且常数项为 0，这也提供了一个判断：若 $S_n$Sn​ 是不含常数项的二次式，则这个数列是等差数列。

基本量法

等差数列有五个量：$a_1$a1​、$d$d、$n$n、$a_n$an​、$S_n$Sn​，两个公式共四个等式关系，知道其中三个量就能求另外两个，这叫「知三求二」。绝大多数题目的做法都是：用 $a_1$a1​ 和 $d$d 把已知条件翻译成方程组，先解出这两个基本量，再求别的。