解答题突破（二）：导数的切线、单调区间与极值最值

本节导读

导数解答题考的是一套固定流程：求切线、求单调区间、求极值、求闭区间上的最值，这几问可以出现在同一道题里。用到的知识分散在本课第 4 节《函数的概念与定义域》、第 5 节《函数的单调性与奇偶性》（单调区间的写法）、第 14 节《导数的概念与求导运算》和第 15 节《导数的应用：切线、单调性与极值最值》。

第 15 节按切线、单调、极值、最值四段分讲，例题都是选择题。这一节不讲新公式，把四段串成多小问的解答题来写：先给出「定义域→求导→解导数为零→列表→写结论」的标准流程，再补上定义域和列表的书写规范，最后示范函数里含一个参数时怎样分情况讨论。学完要做到：拿到函数解答题，第一行写定义域，最后一行写结论，中间每一步都留在卷面上。

这一块在试卷里怎么考

按第 1 节《考试介绍与备考方法》的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院公告为准），解答题 4 道共 49 分，每道分值题与题不同；导数题占几分，各资料说法不一，这里不写死。第 32 节给导数题的固定步骤是「求导、解 $f'(x)=0$f′(x)=0、列表看符号」。

问法有四种：曲线在某点处的切线方程、单调区间、极值、闭区间上的最大值和最小值。第 15 节导读说，这些题的函数多半是三次多项式，或者含有 $\ln x$lnx、$\mathrm{e}^x$ex 的简单式子。

容易丢分的有四处（第 15、32 节易错提醒）：含 $\ln x$lnx 的函数不先看定义域；把导数为零的点都当成极值点；求闭区间上的最值漏比端点；单调区间用「$\cup$∪」连起来。

方法归纳

函数解答题的标准流程，「出处」是主线课节：

步骤	写什么	这里要小心	出处
① 定义域	第一行写「函数的定义域是……」	有 $\ln x$lnx 要 $x\gt0$x>0，有分母要分母不为 0	第 4 节
② 求导	写出 $f'(x)$f′(x)，能因式分解就分解	积、商的求导法则别漏项	第 14 节
③ 解 $f'(x)=0$f′(x)=0	求出定义域内的根	定义域外的根舍去，写一句理由	第 15 节
④ 列表	用根把定义域分段，逐段写 $f'(x)$f′(x) 的符号和 $f(x)$f(x) 的增减	两侧符号相反才是极值点	第 15 节
⑤ 写结论	单调区间、极值分别写	区间用逗号或「和」隔开；极值写函数值	第 5、15 节

切线、最值和含参数的题，在这条流程上各加几步：

问法	在流程上加什么	这里要小心	出处
在点 $(x_0,f(x_0))$(x0​,f(x0​)) 处的切线	求 $f'(x_0)$f′(x0​) 作斜率，代入点斜式	$f(x_0)$f(x0​) 是纵坐标，不是斜率	第 14、15 节
已知切线斜率 $k$k	解 $f'(x)=k$f′(x)=k 求切点横坐标，再求纵坐标	方程可能有两个根，对应两条切线	第 15 节
闭区间 $[a,b]$[a,b] 上的最值	算区间内驻点和两个端点的函数值，比大小	区间外的驻点不参与比较	第 15 节
含一个参数	看 $f'(x)=0$f′(x)=0 有没有根、根在哪，按参数分段	每段单独写结论，最后汇总	第 10、15 节

列表照第 15 节的格式：第一行写 $x$x 的各段和各个根，第二行写 $f'(x)$f′(x) 的符号，第三行写 $f(x)$f(x) 的增减和极值。表要写在卷面上，它就是判断单调性和极值的依据。

题型拆解

题型 1：求切线方程

识别特征：问「在点……处的切线」，或者给出切线的斜率、给出一条与切线平行的直线。

分步解法：求导、求斜率、代点斜式三步。已知斜率时反过来，先解 $f'(x)=k$f′(x)=k。比如曲线 $y=x^3+x$y=x3+x 上切线斜率为 4 的点：$3x^2+1=4$3x2+1=4，$x=\pm1$x=±1，切点是 $(1,2)$(1,2) 和 $(-1,-2)$(−1,−2)，切线是 $y=4x-2$y=4x−2 和 $y=4x+2$y=4x+2。

常见陷阱：解 $3x^2+1=4$3x2+1=4 只取 $x=1$x=1，漏掉一条切线；或者没看清是「在点」还是「过点」，把题目给的点直接当切点（第 15 节）。

题型 2：单调区间、极值与闭区间最值

识别特征：问「单调区间」「极值」或「在 $[a,b]$[a,b] 上的最大值、最小值」，也可以先问单调性、再问最值。

分步解法：照五步走；求最值再加一步，只把区间内的驻点和两个端点的函数值拿来比较。比如 $f(x)=x^3+6x^2-15x$f(x)=x3+6x2−15x 在 $[-1,3]$[−1,3] 上：$f'(x)=3(x+5)(x-1)$f′(x)=3(x+5)(x−1)，区间内只有 $x=1$x=1，$x=-5$x=−5 舍去；$f(-1)=20$f(−1)=20，$f(1)=-8$f(1)=−8，$f(3)=36$f(3)=36，最大值是 36，最小值是 $-8$−8。

常见陷阱：把区间外的驻点也拿来比较，上例算上 $f(-5)=100$f(−5)=100，就会错写成最大值 100；反过来，只比极值不比端点，又会漏掉在端点取得的最值（上例的最大值 36 就在端点取得）。

题型 3：含一个参数的单调性

识别特征：函数里有一个字母参数，问单调区间或极值，题目要求「讨论」。

分步解法：求导并因式分解，看 $f'(x)=0$f′(x)=0 在定义域内有没有根、根在哪里，以此给参数分段；每一段按五步写结论，最后汇总。比如 $f(x)=x-a\ln x$f(x)=x−alnx：定义域是 $(0,+\infty)$(0,+∞)，$f'(x)=\frac{x-a}{x}$f′(x)=xx−a​。$a\le0$a≤0 时 $f'(x)\gt0$f′(x)>0，$f(x)$f(x) 在 $(0,+\infty)$(0,+∞) 上单调递增；$a\gt0$a>0 时在 $(0,a)$(0,a) 上递减、在 $(a,+\infty)$(a,+∞) 上递增。第 15 节的 $x-\ln x$x−lnx 就是 $a=1$a=1 的情形。

常见陷阱：只讨论 $a\gt0$a>0，漏掉 $a\le0$a≤0 那一段；或者各段写完不汇总，结论散在卷面各处。

易错提醒

• ❌ 含 $\ln x$lnx、分式的函数，一上来就求导。✅ 第一行先写定义域，后面解 $f'(x)=0$f′(x)=0、写单调区间都只在定义域内进行。

• ❌ 导数为零的点都当成极值点。✅ 列表看它两侧 $f'(x)$f′(x) 的符号，相反才是极值点（第 15 节的 $y=x^3$y=x3 就是反例）；由「在 $x_0$x0​ 处取得极值」求出参数后，也要代回去看符号变不变。

• ❌ 结论写成「极大值是 $x=0$x=0」。✅ 极值是函数值，极值点才是 $x$x 的值，写成「$x=x_0$x=x0​ 时取得极大值 $f(x_0)$f(x0​)」；单调区间写成区间，不写成不等式。