平面向量的数量积

本节导读

数量积（也叫点积）是向量的第三种运算：两个向量相乘，结果是一个数。有了它，向量的夹角、垂直、长度都可以用代数方法解决。试卷里这一节的考法很集中：已知两个向量的模和夹角，或者已知坐标，求数量积；由数量积求夹角；由垂直（数量积为 0）求参数；求 $\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert$∣a+b∣ 一类的模。多数是选择题和填空题，计算量不大，关键是公式要选对。

学完这一节，你应该能写出数量积的两种公式，会用公式求夹角、模，会用「数量积等于 0」判断垂直，并知道数量积的运算律有哪些、哪些是不成立的。

数量积的定义

夹角与数量积

把两个非零向量 $\vec{a}$a、$\vec{b}$b 的起点放在同一点，它们所夹的角 $\theta$θ（$0° \le \theta \le 180°$0°≤θ≤180°）叫做两个向量的夹角。当 $\theta = 0°$θ=0° 时两个向量同向，$\theta = 180°$θ=180° 时反向，$\theta = 90°$θ=90° 时垂直。数量积的定义是

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert\,\lvert\vec{b}\rvert\cos\theta$$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ

结果是一个数，不是向量。它的正负由夹角决定：$\theta$θ 是锐角时数量积为正，直角时为 0，钝角时为负。特别地，$\vec{a} \cdot \vec{a} = \lvert\vec{a}\rvert^2$a⋅a=∣a∣2，所以 $\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$∣a∣=a⋅a​。

例如 $\lvert\vec{a}\rvert = 2$∣a∣=2，$\lvert\vec{b}\rvert = 3$∣b∣=3，夹角 $60°$60°，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times 3 \times \cos 60° = 3$a⋅b=2×3×cos60°=3。

运算律

数量积满足下面几条运算律：

运算律	内容
交换律	$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$a⋅b=b⋅a
数乘结合	$(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda\vec{b})$(λa)⋅b=λ(a⋅b)=a⋅(λb)
分配律	$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

因此可以像多项式那样展开，得到常用的变形：

$$\lvert\vec{a} \pm \vec{b}\rvert^2 = \lvert\vec{a}\rvert^2 \pm 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert\vec{b}\rvert^2$$∣a±b∣2=∣a∣2±2a⋅b+∣b∣2

注意：数量积没有结合律，$(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$(a⋅b)c 与 $\vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$a(b⋅c) 一般不相等；也不能约分，由 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$a⋅b=a⋅c 不能推出 $\vec{b} = \vec{c}$b=c。

数量积的坐标表示

设 $\vec{a} = (x_1, y_1)$a=(x1​,y1​)，$\vec{b} = (x_2, y_2)$b=(x2​,y2​)，则

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$a⋅b=x1​x2​+y1​y2​

即对应坐标相乘再相加。由此得到三个常用的结论：

问题	公式
向量的模	$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$∣a∣=x12​+y12​​
夹角的余弦	$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\lvert\vec{a}\rvert\,\lvert\vec{b}\rvert} = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\,\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​=x12​+y12​​x22​+y22​​x1​x2​+y1​y2​​
垂直的条件	$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$a⊥b⟺a⋅b=0⟺x1​x2​+y1​y2​=0

比较上一节的结论，垂直和共线是一对容易混淆的条件，下面对照着记：

位置关系	坐标条件	记忆
平行（共线）	$x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$x1​y2​−x2​y1​=0	交叉相乘，再相减
垂直	$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$x1​x2​+y1​y2​=0	对应相乘，再相加

例如 $\vec{a} = (1, 1)$a=(1,1)，$\vec{b} = (2, 0)$b=(2,0)：$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$a⋅b=2，$\lvert\vec{a}\rvert = \sqrt{2}$∣a∣=2​，$\lvert\vec{b}\rvert = 2$∣b∣=2，$\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$cosθ=2​×22​=22​​，所以 $\theta = 45°$θ=45°。又如 $\vec{a} = (1, 2)$a=(1,2)，$\vec{b} = (-2, 1)$b=(−2,1)：$\vec{a} \cdot \vec{b} = -2 + 2 = 0$a⋅b=−2+2=0，两个向量垂直。

求 $\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert$∣a+b∣ 有两条路：已知坐标时，先求 $\vec{a} + \vec{b}$a+b 的坐标再求模；已知模和夹角时，用 $\lvert\vec{a} + \vec{b}\rvert^2 = \lvert\vec{a}\rvert^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + \lvert\vec{b}\rvert^2$∣a+b∣2=∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2。