同角三角函数关系与诱导公式

本节导读

上一节我们学了任意角三角函数的定义。这一节把三角函数之间的关系理清：同一个角的正弦、余弦、正切之间有两个基本关系；不同的角之间，比如 $\pi - \alpha$π−α、$\pi + \alpha$π+α、$-\alpha$−α 与 $\alpha$α 的函数值，有一套诱导公式。试卷里，这一节常见的考法有三类：已知一个三角函数值和象限，求其余的函数值；用诱导公式求 $\sin 150°$sin150°、$\cos 210°$cos210° 这类非锐角的函数值；已知 $\tan\alpha$tanα，求一个关于 $\sin\alpha$sinα、$\cos\alpha$cosα 的式子的值。

学完这一节，你应该能熟练使用两个同角关系，并按象限确定符号；会背诱导公式的口诀「奇变偶不变，符号看象限」并用它化简；会用「弦化切」处理已知正切的求值题。

同角三角函数的基本关系

同一个角 $\alpha$α 的正弦、余弦、正切之间，有两个基本关系：

关系	公式	说明
平方关系	$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$sin2α+cos2α=1	对任意角 $\alpha$α 成立
商数关系	$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$tanα=cosαsinα​	$\cos\alpha \ne 0$cosα=0

平方关系的来源是定义：$\left(\dfrac{y}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{x}{r}\right)^2 = \dfrac{x^2 + y^2}{r^2} = 1$(ry​)2+(rx​)2=r2x2+y2​=1。它有常用的变形：$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$sin2α=1−cos2α，$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$cos2α=1−sin2α。

已知一个函数值求其余函数值，分三步：一，根据角所在的象限判断各函数值的符号；二，用平方关系求出另一个函数值的绝对值，再加上符号；三，用商数关系求正切。例如，已知 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，且 $\alpha$α 是第二象限角：第二象限余弦为负，$\cos\alpha = -\sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = -\dfrac{4}{5}$cosα=−1−259​​=−54​，$\tan\alpha = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$tanα=−4/53/5​=−43​。

弦化切

如果已知 $\tan\alpha$tanα，要求关于 $\sin\alpha$sinα 和 $\cos\alpha$cosα 的齐次式（分子、分母每一项的次数相同）的值，办法是分子分母同除以 $\cos\alpha$cosα（或 $\cos^2\alpha$cos2α），把式子化成只含 $\tan\alpha$tanα。例如 $\tan\alpha = 2$tanα=2，则

$$\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha} = \frac{\tan\alpha + 1}{\tan\alpha - 1} = \frac{2 + 1}{2 - 1} = 3$$sinα−cosαsinα+cosα​=tanα−1tanα+1​=2−12+1​=3

再如，求 $\sin\alpha\cos\alpha$sinαcosα，可以写成分母为 1 的形式，把 1 换成 $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha$sin2α+cos2α：$\sin\alpha\cos\alpha = \dfrac{\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \dfrac{\tan\alpha}{\tan^2\alpha + 1} = \dfrac{2}{5}$sinαcosα=sin2α+cos2αsinαcosα​=tan2α+1tanα​=52​。

诱导公式

公式表

诱导公式把任意角的三角函数化成锐角的三角函数。最常用的五组如下：

角	$\sin$sin	$\cos$cos	$\tan$tan
$-\alpha$−α	$-\sin\alpha$−sinα	$\cos\alpha$cosα	$-\tan\alpha$−tanα
$\pi - \alpha$π−α	$\sin\alpha$sinα	$-\cos\alpha$−cosα	$-\tan\alpha$−tanα
$\pi + \alpha$π+α	$-\sin\alpha$−sinα	$-\cos\alpha$−cosα	$\tan\alpha$tanα
$\dfrac{\pi}{2} - \alpha$2π​−α	$\cos\alpha$cosα	$\sin\alpha$sinα	$\dfrac{1}{\tan\alpha}$tanα1​
$\dfrac{\pi}{2} + \alpha$2π​+α	$\cos\alpha$cosα	$-\sin\alpha$−sinα	$-\dfrac{1}{\tan\alpha}$−tanα1​

此外，加上 $2\pi$2π 的整数倍，函数值不变，如 $\sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha$sin(2π+α)=sinα，$2\pi - \alpha$2π−α 的结果和 $-\alpha$−α 相同。

一句口诀

表格不用死记，一句口诀搞定：奇变偶不变，符号看象限。意思是，对 $k \cdot \dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$k⋅2π​±α 形式的角：

• 奇变偶不变：看 $k$k 的奇偶。$k$k 是偶数（如 $\pi \pm \alpha$π±α、$2\pi \pm \alpha$2π±α，即 $k = 2, 4$k=2,4），函数名不变；$k$k 是奇数（如 $\dfrac{\pi}{2} \pm \alpha$2π​±α、$\dfrac{3\pi}{2} \pm \alpha$23π​±α），正弦变余弦，余弦变正弦。
• 符号看象限：把 $\alpha$α 当成锐角，看原来的角（比如 $\pi + \alpha$π+α）落在第几象限，取原函数在那个象限的符号。