两角和差公式与二倍角公式

本节导读

这一节是三角部分公式最集中的一节，但它们之间联系紧密：两角和差公式是源头，二倍角公式是和角公式的特例，辅助角公式又是和角公式的逆用。试卷里的考法有：求 $\sin 75°$sin75°、$\cos 15°$cos15°、$\tan 15°$tan15° 这类非特殊角的值；已知两个角的某些函数值，求它们的和或差的函数值；用公式的逆用化简式子，比如 $\sin 20°\cos 10° + \cos 20°\sin 10°$sin20°cos10°+cos20°sin10°；用二倍角公式求值；把 $\sin x + \cos x$sinx+cosx 化成一个正弦函数，为下一节求周期、最值做准备。

学完这一节，你应该能熟练写出六个和差公式和二倍角公式，会正用、逆用、变形用，会用辅助角公式把 $a\sin x + b\cos x$asinx+bcosx 化成 $A\sin(x + \varphi)$Asin(x+φ)。

两角和与差的公式

公式

最基本的公式是两角差的余弦，其余公式都可以由它推出来。六个公式如下，在应用中最常用的是前四个：

名称	公式
差角的余弦	$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
和角的余弦	$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
和角的正弦	$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
差角的正弦	$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
和角的正切	$\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ​
差角的正切	$\tan(\alpha - \beta) = \dfrac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ​

记忆要点：余弦公式是「同名相乘，符号相反」，即 $\cos\cos$coscos 与 $\sin\sin$sinsin 相乘，结果的符号与中间的符号相反；正弦公式是「异名相乘，符号相同」，即 $\sin\cos$sincos 与 $\cos\sin$cossin 相乘，结果的符号与中间的符号相同。

正用：求非特殊角的值

把非特殊角拆成两个特殊角的和或差。例如

$$\sin 75° = \sin(45° + 30°) = \sin 45°\cos 30° + \cos 45°\sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=22​​⋅23​​+22​​⋅21​=46​+2​​

同理 $\cos 15° = \cos(45° - 30°) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$cos15°=cos(45°−30°)=46​+2​​，$\tan 75° = \tan(45° + 30°) = \dfrac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 + \sqrt{3}$tan75°=tan(45°+30°)=1−33​​1+33​​​=2+3​。

已知两个角的部分函数值求和角的函数值，需要先补全另一半。例如 $\alpha$α、$\beta$β 都是锐角，$\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，$\cos\beta = \dfrac{5}{13}$cosβ=135​。锐角的函数值都是正的，所以 $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$cosα=54​，$\sin\beta = \dfrac{12}{13}$sinβ=1312​，于是 $\sin(\alpha + \beta) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{13} + \dfrac{4}{5} \times \dfrac{12}{13} = \dfrac{63}{65}$sin(α+β)=53​×135​+54​×1312​=6563​。

逆用：把式子合起来

看到「两个乘积的和或差」，要想到是不是某个和差公式的右边。例如 $\sin 20°\cos 10° + \cos 20°\sin 10°$sin20°cos10°+cos20°sin10°，恰好是 $\sin(20° + 10°)$sin(20°+10°) 的展开式，等于 $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$sin30°=21​。又如 $\cos 80°\cos 20° + \sin 80°\sin 20° = \cos(80° - 20°) = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°−20°)=cos60°=21​。

二倍角公式

在和角公式里令 $\beta = \alpha$β=α，就得到二倍角公式：

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \qquad \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, \qquad \tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$$sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α−sin2α,tan2α=1−tan2α2tanα​

余弦的二倍角公式有三种写法，根据已知条件选择最方便的一种：

写法	适用
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$cos2α=cos2α−sin2α	同时已知正弦、余弦
$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$cos2α=2cos2α−1	只已知余弦
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$cos2α=1−2sin2α	只已知正弦

由后两种写法移项，可以得到降幂公式：$\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$sin2α=21−cos2α​，$\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$cos2α=21+cos2α​，它们把平方降成一次，在化简和求周期时很有用。

例如 $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$sinα=53​，$\alpha$α 是第二象限角，则 $\cos\alpha = -\dfrac{4}{5}$cosα=−54​，$\sin 2\alpha = 2 \times \dfrac{3}{5} \times \left(-\dfrac{4}{5}\right) = -\dfrac{24}{25}$sin2α=2×53​×(−54​)=−2524​，$\cos 2\alpha = 1 - 2 \times \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}$cos2α=1−2×259​=257​。逆用公式的例子：$2\sin 15°\cos 15° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$2sin15°cos15°=sin30°=21​，$\cos^2 15° - \sin^2 15° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$cos215°−sin215°=cos30°=23​​。

辅助角公式

形如 $a\sin x + b\cos x$asinx+bcosx 的式子，可以化成一个正弦函数：

$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$$asinx+bcosx=a2+b2​sin(x+φ)