计算突破：求极限的方法怎么选

本节导读

求极限的方法分散在主线五节里：本课第 3 节《极限的运算法则与计算方法》（约分、有理化、通分、抓最高次）、第 4 节《无穷小与两个重要极限》、第 6 节《导数的概念与几何意义》（用定义求极限）、第 10 节《中值定理与洛必达法则》（含其他类型未定式的转化）和第 17 节《变上限积分与牛顿-莱布尼茨公式》。

综合题不会注明该用哪一节的办法：可能第一招就选错，也可能做到一半式子仍是未定式。本节把这些办法串成「先判型、再选法」的一条路线，标出每种办法的禁区，例题里演示一种办法做不完、换另一种接着做，第 10 节的 $0^0$00、$\infty^0$∞0 型也在内。

这一块在试卷里怎么考

第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考结构（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准）：选择题、填空题各 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（说法不一），共 70 分。极限在卷面上占几分，各资料说法不一，这里不写死；三种题型都会碰到它：小题要一个数，或由极限值倒推常数，解答题按步骤给分，判型和每步变形都要写出来（第 32 节）。

极限还藏在别的题里：用定义求导数（第 6 节）、判断间断点（第 5 节）、求渐近线（第 12 节）、判断级数的敛散性和求收敛半径（第 27–29 节）。容易丢分的有四处（第 3、4、10、17 节易错提醒，第 32 节易错点复盘）：把未定式当成确定的数；在加减式里替换等价无穷小；不是未定式也用洛必达法则；变上限积分求导漏乘上限的导数、下限忘了变号。

方法归纳

拿到一道极限题，按下面四个关口过，最右列是主线课节：

关口	先问	再做	出处
① 代入	代进去有意义吗？	有意义就是结果；分母成 0、分子不成 0，结果为 $\infty$∞	第 3 节
② 判型	属于七种未定式的哪一种？	分式型两种往下走；乘积型、差型改写成分式；底数、指数一起变的三种按幂指型处理	第 3、10 节
③ 化简	有能先拿掉的因式吗？	约掉零因子，根式差有理化；极限非零的因式单独算掉；乘除位置的无穷小换成等价的	第 3、4 节
④ 接力	做完一步仍是未定式？	换另一种办法，回到 ③ 再整理	第 10 节

具体用哪种办法，看式子里装的是什么：

式子的长相	先试	容易栽的地方	出处
$x\to x_0$x→x0​ 时两个多项式相除	分解因式，消去 $x-x_0$x−x0​	立方和、立方差别分解错	第 3 节
两个根式相减	上下同乘共轭根式	$x\to-\infty$x→−∞ 时 $\sqrt{x^2}=-x$x2​=−x	第 3 节
$x\to\infty$x→∞ 时的分式	比较分子、分母的最高次项	有限点处不能这样做	第 3 节
乘除因子是 $\sin u$sinu、$e^{u}-1$eu−1、$\ln(1+u)$ln(1+u) 这一类	换成等价的简单式子，或凑第一个重要极限	被换的 $u$u 必须趋于 0，和差里的项不能各换各的	第 4 节
整理后仍是分式型未定式	洛必达法则	求导后的比值既无极限、也不趋于无穷时，法则不适用	第 10 节

另有几类题的入口是固定的（最后一行属于级数那一章）：

式子的长相	先试	容易栽的地方	出处
底数的极限是 1，指数趋于无穷	底数拆成 1 加无穷小 $u$u，指数配成 $\frac{1}{u}$u1​ 的倍数	底数极限不是 1，就不是未定式	第 4 节
$0^0$00、$\infty^0$∞0 型	取对数：$u^{v}=e^{v\ln u}$uv=evlnu	算完要写回 $e$e 的指数	第 10 节
没有表达式，只知道 $f'(x_0)$f′(x0​)	往导数定义上凑	分母要和分子里自变量的改变量相同	第 6 节
有变上限积分	用洛必达法则，积分对上限求导	上限若是函数 $\varphi(x)$φ(x)，求导后还要乘它的导数，变量在下限时先换到上限、添负号	第 17 节
$n\to\infty$n→∞ 的数列极限（级数的通项、比值）	按 $x\to\infty$x→∞ 的办法抓最高次	比值先约去公因式（示范见第 28 节）	第 27、28 节

四个关口里求导排在最后：约分、换等价这些省事的先做，化不动了才用洛必达法则。把分式拆成两个因式相乘也是一种化简：已知 $f'(1)=4$f′(1)=4，求 $\lim_{x\to0}\frac{f(\cos x)-f(1)}{x^2}$limx→0​x2f(cosx)−f(1)​，拆成 $\frac{f(\cos x)-f(1)}{\cos x-1}\cdot\frac{\cos x-1}{x^2}$cosx−1f(cosx)−f(1)​⋅x2cosx−1​，前一个因式按导数定义趋于 4，后一个趋于 $-\frac{1}{2}$−21​，极限是 $-2$−2。

题型拆解

题型 1：代数式的零比零与无穷比无穷

识别特征：全是代数式：整式、分式、根式，看不到三角、对数和指数。

分步解法：趋于有限点 $x_0$x0​ 时分解因式消去 $x-x_0$x−x0​；两根式相减就上下同乘它们的和，例如 $\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{5x-1}-\sqrt{x+7}}{x-2}$limx→2​x−25x−1​−x+7​​，同乘 $\sqrt{5x-1}+\sqrt{x+7}$5x−1​+x+7​ 后分子是 $4(x-2)$4(x−2)，约分得 $\frac{4}{3+3}=\frac{2}{3}$3+34​=32​。趋于无穷时让分子、分母同除以 $x$x 的最高次幂。

常见陷阱：$x\to-\infty$x→−∞ 时从根号里提出 $x$x 忘了变号。如 $\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x}}{x+1}$limx→−∞​x+14x2+x​​，$x\lt0$x<0 时 $\sqrt{4x^2+x}=-x\sqrt{4+\frac{1}{x}}$4x2+x​=−x4+x1​​，同除以 $x$x 得 $\frac{-\sqrt{4+\frac{1}{x}}}{1+\frac{1}{x}}\to-2$1+x1​−4+x1​​​→−2，漏了负号会错成 2。