二元函数的极值与条件极值

本节导读

一元函数用导数找极值，二元函数用偏导数找极值，方法类似，只是判别条件复杂一些。这一节分两部分：无约束条件的极值，先解出驻点，再用二阶偏导数判别；有约束条件的极值（条件极值），用拉格朗日乘数法。

试卷里，求二元函数的极值是解答题的常见题型，判别法和驻点常以选择题、填空题的形式考查；条件极值也有可能作为解答题出现，常和实际问题的最值联系在一起。

二元函数的极值

如果在点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 的某个邻域内，所有异于它的点 $(x, y)$(x,y) 都有 $f(x, y) \lt f(x_0, y_0)$f(x,y)<f(x0​,y0​)，就说 $f(x_0, y_0)$f(x0​,y0​) 是极大值；都有 $f(x, y) \gt f(x_0, y_0)$f(x,y)>f(x0​,y0​)，就是极小值。极大值和极小值统称极值，取得极值的点叫极值点。

必要条件：如果 $f(x, y)$f(x,y) 在 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 处两个偏导数都存在，并且取得极值，那么

$f_x(x_0, y_0) = 0,\qquad f_y(x_0, y_0) = 0$fx​(x0​,y0​)=0,fy​(x0​,y0​)=0

使两个偏导数同时为零的点叫驻点。极值点一定是驻点（偏导数存在时），但驻点不一定是极值点。

充分条件：设 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 是驻点，在该点的二阶偏导数记为 $A = f_{xx}$A=fxx​，$B = f_{xy}$B=fxy​，$C = f_{yy}$C=fyy​，令 $\Delta = AC - B^2$Δ=AC−B2，则

判别量	结论
$\Delta \gt 0$Δ>0，$A \lt 0$A<0	极大值
$\Delta \gt 0$Δ>0，$A \gt 0$A>0	极小值
$\Delta \lt 0$Δ<0	不是极值点（鞍点）
$\Delta = 0$Δ=0	不能判定，要另想办法

求极值的步骤：先解方程组 $f_x = 0$fx​=0，$f_y = 0$fy​=0 求出所有驻点；再求出 $A$A、$B$B、$C$C 的表达式；然后对每个驻点分别代入，算出 $\Delta$Δ，按上表判别；最后求出极值。

例如 $f(x, y) = x^2 - 2x + y^3 - 3y$f(x,y)=x2−2x+y3−3y：$f_x = 2x - 2 = 0$fx​=2x−2=0 得 $x = 1$x=1；$f_y = 3y^2 - 3 = 0$fy​=3y2−3=0 得 $y = \pm 1$y=±1。驻点是 $(1, 1)$(1,1) 和 $(1, -1)$(1,−1)。二阶偏导数 $A = 2$A=2，$B = 0$B=0，$C = 6y$C=6y。

$(1, 1):\ AC - B^2 = 12 \gt 0,\ A \gt 0\ \Longrightarrow\ \text{极小值 } f(1, 1) = -3;\qquad (1, -1):\ AC - B^2 = -12 \lt 0\ \Longrightarrow\ \text{不是极值点}$(1,1): AC−B2=12>0, A>0 ⟹ 极小值 f(1,1)=−3;(1,−1): AC−B2=−12<0 ⟹ 不是极值点

再看一个典型的鞍点：$f(x, y) = x^2 - y^2$f(x,y)=x2−y2，驻点 $(0, 0)$(0,0)，$A = 2$A=2，$B = 0$B=0，$C = -2$C=−2，$\Delta = -4 \lt 0$Δ=−4<0，所以 $(0, 0)$(0,0) 不是极值点：沿 $x$x 轴方向函数在这里取最小，沿 $y$y 轴方向取最大。

条件极值与拉格朗日乘数法

如果自变量 $x$x、$y$y 还要满足一个附加条件 $\varphi(x, y) = 0$φ(x,y)=0（约束条件），在此条件下求 $z = f(x, y)$z=f(x,y) 的极值，叫条件极值。拉格朗日乘数法的步骤是：

第一步，构造拉格朗日函数，其中 $\lambda$λ 叫拉格朗日乘数：

$F(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\,\varphi(x, y)$F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

第二步，对三个变量求偏导并令其为零，联立解方程组（约束条件也在其中）：

$\begin{cases} F_x = f_x + \lambda\varphi_x = 0 \\ F_y = f_y + \lambda\varphi_y = 0 \\ \varphi(x, y) = 0 \end{cases}$⎩⎨⎧​Fx​=fx​+λφx​=0Fy​=fy​+λφy​=0φ(x,y)=0​

第三步，解出的 $(x, y)$(x,y) 是可能的极值点。实际问题中，如果从问题本身可以判断最大值（或最小值）一定存在，并且只有一个可能的点，那么这个点就是最大值（或最小值）点，不必再判别。

例如，在 $x + y = 2$x+y=2 的条件下求 $f = xy$f=xy 的最大值：令 $F = xy + \lambda(x + y - 2)$F=xy+λ(x+y−2)，则 $F_x = y + \lambda = 0$Fx​=y+λ=0，$F_y = x + \lambda = 0$Fy​=x+λ=0，联立 $x + y = 2$x+y=2 得 $x = y = 1$x=y=1，$f$f 的最大值是 $1$1。

三个变量的情形完全类似：目标函数 $f(x, y, z)$f(x,y,z)，约束 $\varphi(x, y, z) = 0$φ(x,y,z)=0，构造 $F = f + \lambda\varphi$F=f+λφ，对 $x$x、$y$y、$z$z、$\lambda$λ 四个变量求偏导。