向量代数

本节导读

空间解析几何用代数的方法研究空间里的点、直线、平面和曲面，向量是它的基本工具。这一节先把向量本身讲清楚：怎么用坐标表示向量，怎么求模，怎么做加减和数乘，再学两种乘法——数量积和向量积，最后讲方向余弦。下一节用它们来写平面和直线的方程。

试卷里，向量的模、坐标运算、数量积、向量积、两向量垂直或平行的条件、夹角，主要以选择题和填空题的形式出现，计算量不大，关键是公式要记准。

向量的坐标与模

在空间直角坐标系里，点 $M$M 用坐标 $(x, y, z)$(x,y,z) 表示。两点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$M1​(x1​,y1​,z1​)、$M_2(x_2, y_2, z_2)$M2​(x2​,y2​,z2​) 之间的距离是

$\lvert M_1M_2\rvert = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$∣M1​M2​∣=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2+(z2​−z1​)2​

向量 $\boldsymbol{a}$a 的坐标记作 $\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，也就是 $\boldsymbol{a} = a_x\boldsymbol{i} + a_y\boldsymbol{j} + a_z\boldsymbol{k}$a=ax​i+ay​j+az​k，其中 $\boldsymbol{i}$i、$\boldsymbol{j}$j、$\boldsymbol{k}$k 是沿三个坐标轴正方向的单位向量。以 $A(x_1, y_1, z_1)$A(x1​,y1​,z1​) 为起点、$B(x_2, y_2, z_2)$B(x2​,y2​,z2​) 为终点的向量，坐标是终点减起点：

$\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1)$AB=(x2​−x1​, y2​−y1​, z2​−z1​)

向量的模（长度）是各坐标平方和的算术平方根；模为 $1$1 的向量叫单位向量，与 $\boldsymbol{a}$a 同方向的单位向量记作 $\boldsymbol{a}^0$a0：

$\lvert\boldsymbol{a}\rvert = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2},\qquad \boldsymbol{a}^0 = \frac{\boldsymbol{a}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert}$∣a∣=ax2​+ay2​+az2​​,a0=∣a∣a​

向量的线性运算

设 $\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)$a=(ax​,ay​,az​)，$\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)$b=(bx​,by​,bz​)，$\lambda$λ 是实数，加减和数乘都是对应坐标运算：

$\boldsymbol{a} \pm \boldsymbol{b} = (a_x \pm b_x,\ a_y \pm b_y,\ a_z \pm b_z),\qquad \lambda\boldsymbol{a} = (\lambda a_x,\ \lambda a_y,\ \lambda a_z)$a±b=(ax​±bx​, ay​±by​, az​±bz​),λa=(λax​, λay​, λaz​)

两个非零向量平行（共线），当且仅当它们的对应坐标成比例，即存在实数 $\lambda$λ 使 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$a=λb：

$\boldsymbol{a}\ /\!/\ \boldsymbol{b} \iff \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} = \frac{a_z}{b_z}$a // b⟺bx​ax​​=by​ay​​=bz​az​​

向量的数量积

数量积（点积）的结果是一个数。定义和坐标公式是

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \lvert\boldsymbol{a}\rvert\,\lvert\boldsymbol{b}\rvert\cos\theta = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=ax​bx​+ay​by​+az​bz​

其中 $\theta \in [0, \pi]$θ∈[0,π] 是两个向量的夹角。由它可以得到三条常用的结论：

用途	公式
求夹角	$\cos\theta = \dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert\,\lvert\boldsymbol{b}\rvert}$cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b​
垂直的条件	$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0$a⊥b⟺a⋅b=0
求模	$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} = \lvert\boldsymbol{a}\rvert^2$a⋅a=∣a∣2

向量的向量积

向量积（叉积）的结果是一个向量，记作 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$a×b。它的模是 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert\,\lvert\boldsymbol{b}\rvert\sin\theta$∣a∣∣b∣sinθ，等于以 $\boldsymbol{a}$a、$\boldsymbol{b}$b 为邻边的平行四边形的面积；方向同时垂直于 $\boldsymbol{a}$a 和 $\boldsymbol{b}$b，并且按右手法则确定。坐标公式用三阶行列式表示：

$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = (a_yb_z - a_zb_y,\ a_zb_x - a_xb_z,\ a_xb_y - a_yb_x)$a×b=​iax​bx​​jay​by​​kaz​bz​​​=(ay​bz​−az​by​, az​bx​−ax​bz​, ax​by​−ay​bx​)

向量积有三条常用性质：交换两个因子要变号，$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = -\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a}$a×b=−b×a；两个向量平行的充要条件是 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \boldsymbol{0}$a×b=0；$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$a×b 同时垂直于 $\boldsymbol{a}$a 和 $\boldsymbol{b}$b。应用上，以 $A$A、$B$B、$C$C 为顶点的三角形面积是

$S = \frac{1}{2}\lvert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\rvert$S=21​∣AB×AC∣

方向余弦

非零向量 $\boldsymbol{a}$a 与 $x$x、$y$y、$z$z 轴正方向的夹角 $\alpha$α、$\beta$β、$\gamma$γ 叫方向角，它们的余弦叫方向余弦：

$\cos\alpha = \frac{a_x}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert},\qquad \cos\beta = \frac{a_y}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert},\qquad \cos\gamma = \frac{a_z}{\lvert\boldsymbol{a}\rvert}$cosα=∣a∣ax​​,cosβ=∣a∣ay​​,cosγ=∣a∣az​​