级数敛散性的判别

本节导读

上一节只会判断很简单的级数：等比级数、$p$p 级数，或者能求出部分和的级数。绝大多数级数的部分和写不出来，这时要靠判别法。这一节学三类：正项级数用比较判别法和比值判别法；交错级数用莱布尼茨判别法；一般级数先看加绝对值以后是否收敛，分出绝对收敛和条件收敛。

试卷里，判别法是选择题、填空题的重点，也会作为解答题，要求写出判别的依据和过程。做题的关键是先看清级数的类型，再选对方法。

正项级数的判别法

如果 $u_n \geq 0$un​≥0，$\sum u_n$∑un​ 叫正项级数。它的部分和单调增加，所以收敛的充要条件是部分和有上界。

比较判别法

设 $\sum u_n$∑un​、$\sum v_n$∑vn​ 是正项级数，并且 $u_n \leq v_n$un​≤vn​，则

• 若 $\sum v_n$∑vn​ 收敛，则 $\sum u_n$∑un​ 收敛（大的收敛，小的也收敛）；
• 若 $\sum u_n$∑un​ 发散，则 $\sum v_n$∑vn​ 发散（小的发散，大的也发散）。

做比较的对象一般是等比级数和 $p$p 级数。例如 $0 \lt \sin\dfrac{1}{n^2} \leq \dfrac{1}{n^2}$0<sinn21​≤n21​，而 $\sum\dfrac{1}{n^2}$∑n21​ 收敛，所以 $\sum\sin\dfrac{1}{n^2}$∑sinn21​ 收敛。

不等式不容易写出来时，用极限形式更方便：如果 $\lim_{n \to \infty}\dfrac{u_n}{v_n} = l$limn→∞​vn​un​​=l，且 $0 \lt l \lt +\infty$0<l<+∞，则 $\sum u_n$∑un​ 与 $\sum v_n$∑vn​ 同时收敛或同时发散。做法是找出通项分子分母的最高次项，确定它和哪个 $p$p 级数「同阶」：

$\frac{3n+1}{n^3+2} \sim \frac{3}{n^2}\ \Longrightarrow\ \text{收敛},\qquad \frac{1}{2n-1} \sim \frac{1}{2n}\ \Longrightarrow\ \text{发散}$n3+23n+1​∼n23​ ⟹ 收敛,2n−11​∼2n1​ ⟹ 发散

比值判别法

设 $\sum u_n$∑un​ 是正项级数，且 $\rho = \lim_{n \to \infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ρ=limn→∞​un​un+1​​，则

$\rho$ρ 的取值	结论
$\rho \lt 1$ρ<1	收敛
$\rho \gt 1$ρ>1（含 $+\infty$+∞）	发散
$\rho = 1$ρ=1	判别法失效，需要换方法

比值判别法特别适合通项里含有 $n!$n!、$a^n$an、$n^n$nn 这类的级数。例如：

$\sum\frac{2^n}{n!}:\ \rho = \lim\frac{2}{n+1} = 0 \lt 1\ \text{收敛};\qquad \sum\frac{3^n}{n^2}:\ \rho = \lim\frac{3n^2}{(n+1)^2} = 3 \gt 1\ \text{发散}$∑n!2n​: ρ=limn+12​=0<1 收敛;∑n23n​: ρ=lim(n+1)23n2​=3>1 发散

$\rho = 1$ρ=1 时不能下结论：$\sum\dfrac{1}{n}$∑n1​ 与 $\sum\dfrac{1}{n^2}$∑n21​ 的比值极限都是 $1$1，前者发散，后者收敛。这时要改用比较判别法。

交错级数与莱布尼茨判别法

正负项交替出现的级数叫交错级数，写作 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$∑n=1∞​(−1)n−1un​（$u_n \gt 0$un​>0）。

莱布尼茨判别法：如果 (1) $u_n \geq u_{n+1}$un​≥un+1​（通项的绝对值单调减少），(2) $\lim_{n \to \infty}u_n = 0$limn→∞​un​=0，那么交错级数收敛，并且它的和 $S$S 满足 $0 \lt S \leq u_1$0<S≤u1​。

两个条件缺一不可。例如 $\sum(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}$∑(−1)n−1n1​ 满足两个条件，收敛；$\sum(-1)^{n-1}\dfrac{n}{n+1}$∑(−1)n−1n+1n​ 的通项绝对值趋于 $1$1，不满足 (2)，发散。

绝对收敛与条件收敛

对任意项级数 $\sum u_n$∑un​（正负不定），可以考察加了绝对值的正项级数 $\sum\lvert u_n\rvert$∑∣un​∣：

• 若 $\sum\lvert u_n\rvert$∑∣un​∣ 收敛，就说 $\sum u_n$∑un​ 绝对收敛，并且绝对收敛的级数一定收敛；
• 若 $\sum u_n$∑un​ 收敛，而 $\sum\lvert u_n\rvert$∑∣un​∣ 发散，就说 $\sum u_n$∑un​ 条件收敛。