计算突破：积分的方法怎么选

本节导读

求积分的方法分散在主线五节里：本课第 13 节《原函数与不定积分的基本公式》（直接积分法）、第 14 节《不定积分的换元积分法》（凑微分、根式换元、三角代换）、第 15 节《不定积分的分部积分法》（「反对幂指三」、循环型、换元与分部结合）、第 17 节《变上限积分与牛顿-莱布尼茨公式》（分段函数与绝对值）和第 18 节《定积分的换元法、分部积分法与反常积分》。

综合题里的积分不会标明用哪一节的办法：凑微分还是分部、要不要先去根号，得自己判断，有时一种办法走到一半就走不下去。本节按被积函数的样子排出试的先后，指出每种办法出错的位置，两道例题演示换元之后接着分部，一道例题演示三角代换。

这一块在试卷里怎么考

第 1 节《考试介绍与备考方法》给的参考结构（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准）：选择题、填空题各 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（说法不一），共 70 分。积分在卷面上占几分，各资料说法不一，这里不写死：选择、填空要一个原函数或一个定积分的值，解答题得把换元、分部的过程写出来，按步骤给分（第 32 节）。

积分还藏在别的题里：求面积和旋转体体积（第 19 节），二重积分化成累次积分（第 25、26 节），解微分方程时分离变量后两边积分、套一阶线性方程的通解公式（第 30 节），最后都要算积分。容易丢分的有四处（第 13、14、15、18 节易错提醒，第 32 节易错点复盘）：凑微分漏系数或负号；分部积分 $u$u 选反、符号错、循环型忘了除以系数；换元不回代、定积分换元不换限；奇偶性用在不对称的区间或反常积分上。

方法归纳

一道积分题，按下面的先后逐项排查，最右列是主线课节：

顺序	先看	怎么处理	出处
⓪ 积分限	区间关于原点对称？上限是无穷？	对称就按奇偶拆项；无穷限先找原函数再求极限	第 18 节
① 化简	乘开或拆开后，每项都能套公式？	乘开、拆项、用三角恒等式，再逐项积分	第 13 节
② 凑微分	某个因式恰好是另一部分的导数？	把它和 $dx$dx 合成 $du$du，积完换回 $x$x	第 14 节
③ 换元或分部	根式消不掉？两类函数相乘？	根式整体设为 $t$t 或作三角代换；乘积用分部，挑 $u$u 看「反对幂指三」的先后	第 14、15 节
④ 接力	换元后出现乘积？分部后原积分又回来了？	继续分部；原积分回来了就移项求解	第 15 节

具体选哪种，看被积函数长什么样：

被积函数	先试	容易栽的地方	出处
能展开的乘积、分子次数不低于分母的分式、$\tan^2x$tan2x 一类	展开、拆项、恒等变形	积分没有乘积法则	第 13 节
$f(ax+b)$f(ax+b)、$f(x^2)x$f(x2)x、$f(e^{x})e^{x}$f(ex)ex、$f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}$f(x1​)x21​ 一类	凑微分	系数 $\frac{1}{a}$a1​、$\frac{1}{2}$21​ 和负号别漏	第 14 节
含 $\sqrt{ax+b}$ax+b​，或 $x$x 的奇次幂乘 $\sqrt{1+x^2}$1+x2​，凑不出	令 $t$t 等于根式	$dx$dx 一起换，结果回代	第 14 节
含 $\sqrt{a^2-x^2}$a2−x2​、$\sqrt{a^2+x^2}$a2+x2​、$\sqrt{x^2-a^2}$x2−a2​	三角代换 $x=a\sin t$x=asint、$a\tan t$atant、$a\sec t$asect	回代借直角三角形	第 14 节
幂函数乘指数、三角；乘对数、反三角	分部：前者 $u$u 取幂函数，后者 $u$u 取对数或反三角	求 $v$v 时内层系数要除掉	第 15 节
$e^{ax}\sin bx$eaxsinbx、$e^{ax}\cos bx$eaxcosbx	分部两次，移项解方程	两次的 $u$u 选同一类函数	第 15 节

定积分还有几处特有的入口：

题目的样子	做法	这里要小心	出处
区间是 $[-a,a]$[−a,a]	奇函数项积分直接得 0，偶函数项改成 $[0,a]$[0,a] 上积分的 2 倍	既不奇也不偶的项照常算	第 18 节
分段函数、带绝对值	在分段点拆开	先找绝对值里变号的点	第 17 节
设了新变量	同时换限，直接代新限	只凑微分、没设新字母就不换限	第 18 节
积分限有 $+\infty$+∞	先求原函数，再取极限	极限不存在就是发散，奇偶性不能用	第 18 节

排查的先后可以记成一句：定积分先看积分限，然后能化简就不凑、能凑就不换元也不分部。每做完一个不定积分，对结果求导核对一次（第 13 节）。

题型拆解

题型 1：化简后套公式或凑微分

识别特征：被积函数拆开后每一项都是公式里的样子；或者其中一个因式（差一个常数倍）正好是另一部分的导数。

分步解法：先化简，例如 $\int\frac{x^3}{x+1}\,dx$∫x+1x3​dx，由 $x^3=(x+1)(x^2-x+1)-1$x3=(x+1)(x2−x+1)−1 拆成 $x^2-x+1-\frac{1}{x+1}$x2−x+1−x+11​，得 $\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\ln\lvert x+1\rvert+C$3x3​−2x2​+x−ln∣x+1∣+C。化不成公式就找内层，把剩下的因式凑成它的微分，例如 $\int\frac{e^{x}}{\sqrt{1-e^{2x}}}\,dx=\int\frac{d(e^{x})}{\sqrt{1-(e^{x})^2}}=\arcsin e^{x}+C$∫1−e2x​ex​dx=∫1−(ex)2​d(ex)​=arcsinex+C。

常见陷阱：凑出负号却丢了。比如 $\int\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\,dx$∫x2ex1​​dx，$\frac{dx}{x^2}=-d\left(\frac{1}{x}\right)$x2dx​=−d(x1​)，结果是 $-e^{\frac{1}{x}}+C$−ex1​+C，写成 $e^{\frac{1}{x}}+C$ex1​+C 就错了。