偏导数与全微分

本节导读

前面几章研究的都是一个自变量的函数。这一章开始研究多个自变量的函数，我们只讨论最基本的二元函数 $z = f(x, y)$z=f(x,y)。思路是「把一个变量固定，其余当一元函数处理」，所以前面学的求导公式和法则几乎都能直接用。

试卷里，求偏导数、二阶偏导数和全微分是常考内容，选择题、填空题、解答题里都可能出现；二元函数的定义域则常以选择题的形式出现。

二元函数的定义域

二元函数的定义域是 $xOy$xOy 平面上的一个区域，求法和一元函数相同：把各个限制条件写成不等式，再取公共部分。

式子	限制条件
分式 $\dfrac{1}{g(x, y)}$g(x,y)1​	$g(x, y) \neq 0$g(x,y)=0
偶次根式 $\sqrt{g(x, y)}$g(x,y)​	$g(x, y) \geq 0$g(x,y)≥0
对数 $\ln g(x, y)$lng(x,y)	$g(x, y) \gt 0$g(x,y)>0
$\arcsin g(x, y)$arcsing(x,y)、$\arccos g(x, y)$arccosg(x,y)	$-1 \leq g(x, y) \leq 1$−1≤g(x,y)≤1

例如 $z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} + \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 - 1}}$z=4−x2−y2​+x2+y2−1​1​：第一项要求 $x^2 + y^2 \leq 4$x2+y2≤4，第二项要求 $x^2 + y^2 \gt 1$x2+y2>1，所以定义域是 $1 \lt x^2 + y^2 \leq 4$1<x2+y2≤4，是一个圆环（外圆周在内，内圆周不在内）。

偏导数

设 $z = f(x, y)$z=f(x,y)，只让 $x$x 变化、$y$y 固定为 $y_0$y0​，函数就成了 $x$x 的一元函数。它在 $x_0$x0​ 处的导数叫做 $f$f 在点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 对 $x$x 的偏导数：

$f_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}$fx​(x0​,y0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

同样地定义对 $y$y 的偏导数 $f_y(x_0, y_0)$fy​(x0​,y0​)。偏导数的记号有 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​、$z_x$zx​、$f_x(x, y)$fx​(x,y)。几何上，$f_x(x_0, y_0)$fx​(x0​,y0​) 是曲面被平面 $y = y_0$y=y0​ 所截得的曲线在该点处沿 $x$x 方向的切线斜率。

求偏导数没有新方法，只有一条规则：对谁求偏导，就把谁当变量，其余变量当作常数，然后用一元函数的求导公式和法则。

$z = x^2y + \sin(xy):\quad \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y\cos(xy),\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^2 + x\cos(xy)$z=x2y+sin(xy):∂x∂z​=2xy+ycos(xy),∂y∂z​=x2+xcos(xy)

$z = x^y\ (x \gt 0):\quad \frac{\partial z}{\partial x} = yx^{y-1}\ (\text{当幂函数}),\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x^y\ln x\ (\text{当指数函数})$z=xy (x>0):∂x∂z​=yxy−1 (当幂函数),∂y∂z​=xylnx (当指数函数)

$z = \arctan\frac{y}{x}:\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y}{x^2 + y^2},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}$z=arctanxy​:∂x∂z​=−x2+y2y​,∂y∂z​=x2+y2x​

要求某一点处的偏导数值，可以先求出偏导函数再代入；如果只代入一个变量，可以先代再求，常常更简单。例如 $f(x, y) = x^2y + e^{y}$f(x,y)=x2y+ey，求 $f_x(1, 2)$fx​(1,2)：先令 $y = 2$y=2，得 $f(x, 2) = 2x^2 + e^2$f(x,2)=2x2+e2，求导为 $4x$4x，所以 $f_x(1, 2) = 4$fx​(1,2)=4。

高阶偏导数

偏导数 $z_x$zx​、$z_y$zy​ 仍是 $x$x、$y$y 的函数，可以继续求偏导，得到二阶偏导数，共四个：

$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = z_{xx},\quad \frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} = z_{xy} = (z_x)_y,\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x} = z_{yx} = (z_y)_x,\quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = z_{yy}$∂x2∂2z​=zxx​,∂x∂y∂2z​=zxy​=(zx​)y​,∂y∂x∂2z​=zyx​=(zy​)x​,∂y2∂2z​=zyy​

其中 $z_{xy}$zxy​ 和 $z_{yx}$zyx​ 叫混合偏导数，$z_{xy}$zxy​ 的意思是先对 $x$x 求偏导，再对 $y$y 求偏导。一个重要的定理：如果两个混合偏导数在区域内连续，它们相等。初等函数都满足这个条件，所以做题时求出一个，另一个就是现成的，可以用来检验。

以 $z = x^3y^2 - 3xy + y^3$z=x3y2−3xy+y3 为例：

$z_x = 3x^2y^2 - 3y,\quad z_y = 2x^3y - 3x + 3y^2,\quad z_{xx} = 6xy^2,\quad z_{xy} = 6x^2y - 3 = z_{yx},\quad z_{yy} = 2x^3 + 6y$zx​=3x2y2−3y,zy​=2x3y−3x+3y2,zxx​=6xy2,zxy​=6x2y−3=zyx​,zyy​=2x3+6y

全微分

如果函数的全增量可以写成 $\Delta z = A\,\Delta x + B\,\Delta y + o(\rho)$Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)（$\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ρ=Δx2+Δy2​），就说函数在该点可微，$A\,dx + B\,dy$Adx+Bdy 叫做全微分。此时一定有 $A = z_x$A=zx​，$B = z_y$B=zy​，所以