考前冲刺与应试策略

本节导读

最后一节不讲新内容，而是把前面三十一节收成一份考前清单：先过一遍必须背熟的公式，再讲解答题怎样写才不丢步骤分，然后按章复盘最容易出错的地方，最后说说考场上的时间怎么用。建议考前一两天把这一节当检查表用：每一条先自己默写或口述，再对照核对，哪条卡壳就回到对应的章节补一遍。

公式速记

导数公式（$\mu$μ、$a$a 是常数，$a \gt 0$a>0 且 $a \ne 1$a=1）：

函数	导数
$x^\mu$xμ	$\mu x^{\mu-1}$μxμ−1
$a^x$ax，$e^x$ex	$a^x\ln a$axlna，$e^x$ex
$\log_a x$loga​x，$\ln x$lnx	$\dfrac{1}{x\ln a}$xlna1​，$\dfrac{1}{x}$x1​
$\sin x$sinx，$\cos x$cosx	$\cos x$cosx，$-\sin x$−sinx
$\tan x$tanx，$\cot x$cotx	$\sec^2 x$sec2x，$-\csc^2 x$−csc2x
$\sec x$secx，$\csc x$cscx	$\sec x\tan x$secxtanx，$-\csc x\cot x$−cscxcotx
$\arcsin x$arcsinx，$\arctan x$arctanx	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1−x2​1​，$\dfrac{1}{1+x^2}$1+x21​

$\arccos x$arccosx 和 $\operatorname{arccot} x$arccotx 的导数，只是在上面两个结果前面加负号。求导法则有四条：

• 和差：$(u \pm v)' = u' \pm v'$(u±v)′=u′±v′；
• 乘积：$(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′；
• 商：$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​；
• 复合：$\{f[g(x)]\}' = f'[g(x)]\cdot g'(x)${f[g(x)]}′=f′[g(x)]⋅g′(x)，由外到内一层一层求。

积分公式（下表省略 $+C$+C）：

被积函数	原函数
$x^\mu$xμ（$\mu \ne -1$μ=−1）	$\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1}$μ+1xμ+1​
$\dfrac{1}{x}$x1​	$\ln\lvert x\rvert$ln∣x∣
$a^x$ax，$e^x$ex	$\dfrac{a^x}{\ln a}$lnaax​，$e^x$ex
$\sin x$sinx，$\cos x$cosx	$-\cos x$−cosx，$\sin x$sinx
$\sec^2 x$sec2x，$\csc^2 x$csc2x	$\tan x$tanx，$-\cot x$−cotx
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$1−x2​1​，$\dfrac{1}{1+x^2}$1+x21​	$\arcsin x$arcsinx，$\arctan x$arctanx

定积分的三件工具：牛顿—莱布尼茨公式 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)；分部积分 $\displaystyle\int u\,dv = uv - \int v\,du$∫udv=uv−∫vdu（$u$u 按「反对幂指三」的顺序选）；对称区间上，奇函数的积分为 $0$0，偶函数的积分是半区间上积分的两倍。

极限与展开：

• 两个重要极限：$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1$x→0lim​xsinx​=1，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$x→∞lim​(1+x1​)x=e。
• $x \to 0$x→0 时的等价无穷小：$\sin x \sim x$sinx∼x，$\tan x \sim x$tanx∼x，$\arcsin x \sim x$arcsinx∼x，$\ln(1+x) \sim x$ln(1+x)∼x，$e^x - 1 \sim x$ex−1∼x，$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$1−cosx∼2x2​，$(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$(1+x)α−1∼αx。
• 五个麦克劳林展开：$e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ex=n=0∑∞​n!xn​，$\sin x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$sinx=n=0∑∞​(2n+1)!(−1)nx2n+1​，$\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$cosx=n=0∑∞​(2n)!(−1)nx2n​，$\dfrac{1}{1-x} = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}x^n$1−x1​=n=0∑∞​xn（$\lvert x\rvert \lt 1$∣x∣<1），$\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ln(1+x)=n=1∑∞​n(−1)n+1xn​（$-1 \lt x \le 1$−1<x≤1）。

其他必背结论：

内容	结论
几何级数 $\sum q^n$∑qn	$\lvert q\rvert \lt 1$∣q∣<1 时收敛，从 $n = 0$n=0 起和为 $\dfrac{1}{1-q}$1−q1​
$p$p 级数 $\sum\dfrac{1}{n^p}$∑np1​	$p \gt 1$p>1 收敛，$p \le 1$p≤1 发散
幂级数的收敛半径	$R = \dfrac{1}{\rho}$R=ρ1​，$\rho = \lim\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert$ρ=lim​an​an+1​​​
二元函数的极值	驻点处令 $A = f_{xx}$A=fxx​，$B = f_{xy}$B=fxy​，$C = f_{yy}$C=fyy​，$\Delta = AC - B^2$Δ=AC−B2：$\Delta \gt 0$Δ>0 时有极值（$A \gt 0$A>0 极小，$A \lt 0$A<0 极大），$\Delta \lt 0$Δ<0 时无极值
二重积分换极坐标	$\displaystyle\iint_D f\,d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$∬D​fdσ=∬D​f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ
一阶线性方程	$y' + P(x)y = Q(x)$y′+P(x)y=Q(x) 的通解是 $y = e^{-\int P\,dx}\left(\int Qe^{\int P\,dx}dx + C\right)$y=e−∫Pdx(∫Qe∫Pdxdx+C)
二阶常系数齐次方程	特征方程 $r^2 + pr + q = 0$r2+pr+q=0，按两个不等实根、重根、共轭复根写出通解

解答题的书写规范

解答题按步骤给分，写清思路比只写结果更重要。几条通用规范：

1. 先写依据，再写计算。用洛必达法则要先说明是「$\dfrac{0}{0}$00​ 型」或「$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型」；用中值定理、极值判别法之前，先写出条件是否满足。
2. 等号链要连贯：每一步只做一件事，前后用等号连接，不跳步，也不要把不相等的式子用等号连在一起。
3. 不定积分别漏 $+C$+C，微分方程的通解要带任意常数，定积分换元时要同时换积分限。
4. 结论单独成句：求极值写「极大值（极小值）是……」，求面积、体积写「所求面积为……」，结果化到最简。
5. 应用题按「设、列、求、答」四步写：设出未知量，列出函数关系，求出最值并说明它为什么是最值，最后作答。