函数的连续性与间断点

本节导读

连续的直观意思是「图像可以一笔画下来，中间不断开」。这一节用极限把它说严格，学会找出函数的间断点并判断类型，再解决两类常见题：分段函数中求参数使函数连续，以及用零点定理证明方程有根。

在试卷里，间断点的判断和类型多以选择题、填空题出现；「求参数使分段函数连续」是填空题和解答题的常客；零点定理常作为一道证明题。

连续的定义

设函数 $f(x)$f(x) 在点 $x_0$x0​ 附近有定义。如果

$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)

就说 $f(x)$f(x) 在点 $x_0$x0​ 处连续。这个等式包含三个条件，缺一不可：一是 $f(x_0)$f(x0​) 有定义；二是极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$limx→x0​​f(x) 存在；三是两者相等。

只有 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$limx→x0−​​f(x)=f(x0​) 叫左连续，只有 $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$limx→x0+​​f(x)=f(x0​) 叫右连续。函数在 $x_0$x0​ 连续，当且仅当它在 $x_0$x0​ 既左连续又右连续。

函数在开区间内每一点都连续，就说它在这个开区间内连续；在闭区间 $[a, b]$[a,b] 上连续，是指在 $(a, b)$(a,b) 内连续，并且在 $a$a 处右连续、在 $b$b 处左连续。

基本初等函数在各自的定义域内都是连续的，连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数仍然连续，所以初等函数在它的定义区间内处处连续。

间断点及其分类

函数在 $x_0$x0​ 处不连续，$x_0$x0​ 就叫间断点：上面三个条件只要有一个不满足，就是间断点。按左右极限的情况，间断点分成两类四种：

类型	判别条件	例子
第一类：可去间断点	左右极限都存在且相等，但不等于 $f(x_0)$f(x0​) 或 $f(x_0)$f(x0​) 无定义	$\dfrac{\sin x}{x}$xsinx​ 在 $x=0$x=0
第一类：跳跃间断点	左右极限都存在，但不相等	$\dfrac{\lvert x \rvert}{x}$x∣x∣​ 在 $x=0$x=0
第二类：无穷间断点	左右极限中至少有一个是无穷大	$\dfrac{1}{x-1}$x−11​ 在 $x=1$x=1
第二类：振荡间断点	极限因来回振荡而不存在	$\sin\dfrac{1}{x}$sinx1​ 在 $x=0$x=0

记忆方法：左右极限都存在的叫第一类，其余叫第二类。第一类里，左右相等的可以「补上一个值」使它连续，所以叫可去；左右不等的图像「跳」了一下，所以叫跳跃。

找间断点分三步：先找可疑点，即分母为零的点、分段函数的分段点、$\tan x$tanx 无定义的点等；再对每个可疑点求左右极限；最后按上表归类。例如 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$f(x)=x2−3x+2x2−1​，分母 $(x-1)(x-2)$(x−1)(x−2)，可疑点是 $x = 1$x=1 和 $x = 2$x=2。

$f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\ (x \neq 1)$f(x)=(x−1)(x−2)(x−1)(x+1)​ (x=1)

约去 $x - 1$x−1 后，$x \to 1$x→1 时 $f(x)$f(x) 趋于 $\dfrac{1+1}{1-2} = -2$1−21+1​=−2，极限存在，所以 $x = 1$x=1 是可去间断点；$x \to 2$x→2 时分母趋于 $0$0 而分子趋于 $3$3，$f(x) \to \infty$f(x)→∞，所以 $x = 2$x=2 是无穷间断点。

分段函数的连续性

分段函数在分段点处是否连续，要比较三个量：左极限、右极限、函数值，三者相等才连续。求参数时，就是让这三者相等，列方程解出参数。例如

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 2x}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​xsin2x​,k,​x=0x=0​

在 $x = 0$x=0 处连续。当 $x \neq 0$x=0 时的那一段，左右极限都是 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{x} = 2$limx→0​xsin2x​=2，函数值是 $f(0) = k$f(0)=k，三者相等，所以 $k = 2$k=2。

闭区间上连续函数的性质

闭区间 $[a, b]$[a,b] 上的连续函数有三条重要性质：

• 最值定理：必有最大值和最小值，因此也一定有界。
• 零点定理：若 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，且 $f(a) \cdot f(b) \lt 0$f(a)⋅f(b)<0，则在 $(a, b)$(a,b) 内至少有一点 $\xi$ξ，使 $f(\xi) = 0$f(ξ)=0。
• 介值定理：若 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，$\mu$μ 是介于 $f(a)$f(a) 与 $f(b)$f(b) 之间的数，则在 $[a, b]$[a,b] 内至少有一点 $\xi$ξ，使 $f(\xi) = \mu$f(ξ)=μ。

零点定理常用来证明方程有根，书写分四步：令 $f(x)$f(x) 等于方程左边减右边；说明 $f(x)$f(x) 在闭区间上连续；算出两个端点的函数值并说明异号；由零点定理得出结论。

例如证明方程 $x^3 - 3x + 1 = 0$x3−3x+1=0 在 $(0, 1)$(0,1) 内至少有一个根：令 $f(x) = x^3 - 3x + 1$f(x)=x3−3x+1，它在 $[0, 1]$[0,1] 上连续，$f(0) = 1 \gt 0$f(0)=1>0，$f(1) = -1 \lt 0$f(1)=−1<0，由零点定理，在 $(0, 1)$(0,1) 内至少存在一点 $\xi$ξ，使 $f(\xi) = 0$f(ξ)=0，即方程在 $(0, 1)$(0,1) 内至少有一个根。

易错提醒

• ❌ 函数在 $x_0$x0​ 处极限存在，就是连续的
  ✅ 还要 $f(x_0)$f(x0​) 有定义，并且等于极限值
  三个条件缺一不可。

• ❌ $\dfrac{\sin x}{x}$xsinx​ 在 $x=0$x=0 处没有定义，所以是无穷间断点
  ✅ 极限为 $1$1，是可去间断点
  判断类型看极限，不看有没有定义。

• ❌ 分段点处只算一侧极限，就说函数连续
  ✅ 左极限、右极限、函数值三者都要算，并且相等
  漏掉任何一个都可能判错。

• ❌ 用零点定理时只写 $f(a) f(b) \lt 0$f(a)f(b)<0，不写连续性
  ✅ 必须先说明 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续
  不连续的函数可以从负跳到正而不经过零。

• ❌ $f(a) f(b) \gt 0$f(a)f(b)>0 时，方程在 $(a, b)$(a,b) 内一定没有根
  ✅ 同号时零点定理不能下结论
  区间内可能有偶数个根。

例题精讲

例题 1

判断 $x = 0$x=0 是函数 $f(x) = \dfrac{1}{1 + e^{\frac{1}{x}}}$f(x)=1+ex1​1​ 的哪类间断点。

解：$x \to 0^-$x→0− 时，$\dfrac{1}{x} \to -\infty$x1​→−∞，$e^{\frac{1}{x}} \to 0$ex1​→0，所以 $f(x) \to \dfrac{1}{1+0} = 1$f(x)→1+01​=1；$x \to 0^+$x→0+ 时，$\dfrac{1}{x} \to +\infty$x1​→+∞，$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$ex1​→+∞，所以 $f(x) \to 0$f(x)→0。左右极限都存在但不相等。

答案：第一类间断点中的跳跃间断点

例题 2

设 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1+3x)}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​xln(1+3x)​,a,​x=0x=0​ 在 $x = 0$x=0 处连续，求 $a$a。

解：$x \to 0$x→0 时 $\ln(1+3x) \sim 3x$ln(1+3x)∼3x，所以 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+3x)}{x} = 3$limx→0​xln(1+3x)​=3。连续要求极限等于函数值，$a = 3$a=3。

答案：$a = 3$a=3

例题 3

证明方程 $x \cdot 2^x = 1$x⋅2x=1 在 $(0, 1)$(0,1) 内至少有一个根。

解：令 $f(x) = x \cdot 2^x - 1$f(x)=x⋅2x−1，它是初等函数，在 $[0, 1]$[0,1] 上连续。$f(0) = -1 \lt 0$f(0)=−1<0，$f(1) = 2 - 1 = 1 \gt 0$f(1)=2−1=1>0，端点函数值异号，由零点定理，在 $(0, 1)$(0,1) 内至少存在一点 $\xi$ξ 使 $f(\xi) = 0$f(ξ)=0，即方程至少有一个根。

本节小结

• 连续的定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)，包含「有定义、极限存在、两者相等」三个条件；初等函数在定义区间内连续。
• 间断点分两类：左右极限都存在的是第一类（可去、跳跃），其余是第二类（无穷、振荡）。
• 分段点处要比较左极限、右极限和函数值，三者相等才连续，求参数就是列这三者相等的方程。
• 闭区间上的连续函数有最大值、最小值，并满足零点定理和介值定理。
• 证明方程有根：令 $f(x)$f(x) = 左边减右边，说明连续，两端点函数值异号，由零点定理得结论。