变上限积分与牛顿-莱布尼茨公式

本节导读

上一节讲了定积分是什么，这一节讲怎么算。牛顿-莱布尼茨公式把定积分的计算化成了求原函数，是微积分最重要的公式之一。另一个重要内容是变上限积分：上限是变量 $x$x 的积分，它的导数有固定的公式。

试卷里，变上限积分求导是选择题、填空题的高频考点，也常和洛必达法则结合出现在极限题里；牛顿-莱布尼茨公式则是所有定积分计算的基础，几乎每一道含定积分的题都要用到。

变上限积分及其导数

设 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，对每个 $x \in [a, b]$x∈[a,b]，积分 $\int_a^x f(t)\,dt$∫ax​f(t)dt 都有确定的值，它是上限 $x$x 的函数，记作

$\Phi(x) = \int_a^x f(t)\,dt$Φ(x)=∫ax​f(t)dt

这里积分变量写成 $t$t，是为了和上限 $x$x 区分开。最重要的结论是：变上限积分对上限求导，等于被积函数在上限处的值，也就是 $\Phi(x)$Φ(x) 是 $f(x)$f(x) 的一个原函数：

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$dxd​∫ax​f(t)dt=f(x)

如果上限是 $x$x 的函数 $\varphi(x)$φ(x)，要再乘上限的导数（链式法则）；下限含 $x$x 时，减去下限处的值乘下限的导数：

$\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)\,dt = f(\varphi(x))\,\varphi'(x),\qquad \frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)\,dt = f(\varphi(x))\,\varphi'(x) - f(\psi(x))\,\psi'(x)$dxd​∫aφ(x)​f(t)dt=f(φ(x))φ′(x),dxd​∫ψ(x)φ(x)​f(t)dt=f(φ(x))φ′(x)−f(ψ(x))ψ′(x)

要求的导数	结果	说明
$\dfrac{d}{dx}\int_0^x e^{t^2}\,dt$dxd​∫0x​et2dt	$e^{x^2}$ex2	把上限 $x$x 代入被积函数
$\dfrac{d}{dx}\int_x^1 \sin t^2\,dt$dxd​∫x1​sint2dt	$-\sin x^2$−sinx2	下限含 $x$x，交换上下限变号
$\dfrac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$dxd​∫0x2​costdt	$2x\cos x^2$2xcosx2	上限是 $x^2$x2，再乘 $2x$2x
$\dfrac{d}{dx}\int_x^{x^2}e^t\,dt$dxd​∫xx2​etdt	$2xe^{x^2} - e^x$2xex2−ex	上、下限都含 $x$x

被积函数里如果有 $x$x，要先把它提到积分号外面再求导，例如 $\dfrac{d}{dx}\left[\int_0^x xf(t)\,dt\right] = \dfrac{d}{dx}\left[x\int_0^x f(t)\,dt\right] = \int_0^x f(t)\,dt + xf(x)$dxd​[∫0x​xf(t)dt]=dxd​[x∫0x​f(t)dt]=∫0x​f(t)dt+xf(x)。

变上限积分经常和洛必达法则一起出现。例如 $x \to 0$x→0 时 $\int_0^x \sin t^2\,dt \to 0$∫0x​sint2dt→0，是 $\dfrac{0}{0}$00​ 型：

$\lim_{x \to 0}\frac{\int_0^x \sin t^2\,dt}{x^3} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x^2}{3x^2} = \frac{1}{3}$limx→0​x3∫0x​sint2dt​=limx→0​3x2sinx2​=31​

牛顿-莱布尼茨公式

如果 $F(x)$F(x) 是连续函数 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上的一个原函数，那么

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)

右边常记作 $F(x)\Big|_a^b$F(x)​ab​。它把「求一个和式的极限」变成了「求原函数，再代入上下限相减」。计算步骤分三步：先用不定积分的方法求出一个原函数（常数 $C$C 不用写，写了也会在相减时抵消），再分别代入上限和下限，最后用上限的值减去下限的值。

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_0^1 = \frac{1}{3},\qquad \int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^{\pi} = 2,\qquad \int_1^2\frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}\Big|_1^2 = \frac{1}{2}$∫01​x2dx=3x3​​01​=31​,∫0π​sinxdx=−cosx​0π​=2,∫12​x2dx​=−x1​​12​=21​

分段函数与绝对值

被积函数是分段函数，或含有绝对值时，要在分段点处把积分区间拆开，分别积分再相加。例如 $\int_0^2 \lvert x - 1\rvert\,dx$∫02​∣x−1∣dx：$x \lt 1$x<1 时 $\lvert x - 1\rvert = 1 - x$∣x−1∣=1−x，$x \geq 1$x≥1 时等于 $x - 1$x−1，所以