一阶微分方程

本节导读

含有未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。物理、经济里的变化规律常常是用导数表达的，比如「某量的变化率与它本身成正比」，写成方程就是 $y' = ky$y′=ky，求解的目标是找出满足方程的函数 $y$y。这一章分两节：本节讲基本概念和一阶方程的两类解法，下一节讲二阶常系数线性方程。

试卷里，微分方程是选择题、填空题和解答题都会出现的内容：判断阶数和通解，求可分离变量方程和一阶线性方程的通解或特解，是常见的题型。

微分方程的基本概念

方程中出现的未知函数导数的最高阶数，叫微分方程的阶。例如 $y' = 2x$y′=2x 是一阶方程，$y'' + y = 0$y′′+y=0 是二阶方程，而 $(y')^3 + xy = 0$(y′)3+xy=0 也是一阶方程，阶数看的是导数的最高阶，不看导数的次数。

能使方程成为恒等式的函数叫方程的解。含有任意常数、并且独立的任意常数的个数等于方程的阶数的解，叫通解；通解中的任意常数由初始条件确定以后，得到的解叫特解。初始条件是指定某一点的函数值，如 $y(x_0) = y_0$y(x0​)=y0​（一阶方程一个条件，二阶方程两个条件）。

例如 $y' = 2x$y′=2x，积分得通解 $y = x^2 + C$y=x2+C；若给出初始条件 $y(0) = 1$y(0)=1，代入得 $C = 1$C=1，特解是 $y = x^2 + 1$y=x2+1。

验证一个函数是不是解，只要代入方程检查：对 $y = Ce^{-3x}$y=Ce−3x 求导得 $y' = -3Ce^{-3x} = -3y$y′=−3Ce−3x=−3y，所以它满足 $y' + 3y = 0$y′+3y=0，并且含一个任意常数，是这个一阶方程的通解。

可分离变量的微分方程

形如

$\frac{dy}{dx} = f(x)\,g(y)$dxdy​=f(x)g(y)

的方程，可以把含 $y$y 的部分和含 $x$x 的部分分别放到等号两边，再两边积分，这就是分离变量法。步骤有三步：

1. 分离变量：$\dfrac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx$g(y)dy​=f(x)dx（要求 $g(y) \neq 0$g(y)=0）；
2. 两边积分：$\displaystyle\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C$∫g(y)dy​=∫f(x)dx+C，只在一边写一个任意常数 $C$C；
3. 整理得到通解，有初始条件时代入定出 $C$C。

例如 $y' = 2xy$y′=2xy：分离变量 $\dfrac{dy}{y} = 2x\,dx$ydy​=2xdx，积分得 $\ln\lvert y\rvert = x^2 + C_1$ln∣y∣=x2+C1​，取指数得 $\lvert y\rvert = e^{C_1}e^{x^2}$∣y∣=eC1​ex2，记 $C = \pm e^{C_1}$C=±eC1​，通解是

$y = Ce^{x^2}$y=Cex2

再看带初始条件的：$y' = -\dfrac{x}{y}$y′=−yx​，$y(0) = 2$y(0)=2。分离变量 $y\,dy = -x\,dx$ydy=−xdx，积分得 $\dfrac{y^2}{2} = -\dfrac{x^2}{2} + C$2y2​=−2x2​+C，即 $x^2 + y^2 = C'$x2+y2=C′。由 $y(0) = 2$y(0)=2 得 $C' = 4$C′=4，特解是 $x^2 + y^2 = 4$x2+y2=4（隐函数形式，$y \gt 0$y>0 的那一支）。

一阶线性微分方程

形如

$y' + P(x)\,y = Q(x)$y′+P(x)y=Q(x)

的方程叫一阶线性微分方程，「线性」是指 $y$y 和 $y'$y′ 都只以一次的形式出现。$Q(x) \equiv 0$Q(x)≡0 时叫齐次方程，它是可分离变量的，通解是 $y = Ce^{-\int P(x)\,dx}$y=Ce−∫P(x)dx。一般情形的通解公式是

$y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)\,e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)$y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)

用公式的步骤是：先把方程化成标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$y′+P(x)y=Q(x)，注意 $y'$y′ 的系数必须是 $1$1，认出 $P$P 和 $Q$Q（包括各自的符号）；再算 $\displaystyle\int P\,dx$∫Pdx（这里不加常数）；代入公式，最后一次积分时加 $C$C。

例如 $y' + 2y = e^{-x}$y′+2y=e−x：$P = 2$P=2，$Q = e^{-x}$Q=e−x，$e^{\int P\,dx} = e^{2x}$e∫Pdx=e2x：

$y = e^{-2x}\left(\int e^{-x}e^{2x}\,dx + C\right) = e^{-2x}\left(e^x + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$y=e−2x(∫e−xe2xdx+C)=e−2x(ex+C)=e−x+Ce−2x