无穷小与两个重要极限

本节导读

无穷小和两个重要极限是求极限的「核心工具箱」。选择题、填空题常考无穷小的比较和重要极限的变形；解答题里的极限，用等价无穷小替换往往能少算很多步。

学完这一节，你应该能判断一个量是不是无穷小，会比较两个无穷小的阶，会用常用的等价无穷小做替换，并且能识别什么时候用第一个重要极限、什么时候用第二个重要极限。

无穷小与无穷大

如果在某个变化过程中 $\lim f(x) = 0$limf(x)=0，就说 $f(x)$f(x) 是这个过程中的无穷小。例如 $x \to 0$x→0 时，$x^2$x2、$\sin x$sinx 都是无穷小；$x \to \infty$x→∞ 时，$\dfrac{1}{x}$x1​ 是无穷小。注意：无穷小是「极限为 $0$0 的变量」，不是「很小的数」，唯一能当无穷小的常数是 $0$0 本身。

如果 $\lim f(x) = \infty$limf(x)=∞，$f(x)$f(x) 就是无穷大。在同一个变化过程中，无穷大的倒数是无穷小，不等于零的无穷小的倒数是无穷大。

无穷小有两条最常用的性质：有限个无穷小的和与积仍是无穷小；无穷小乘以有界量仍是无穷小。后一条常用来判断含 $\sin$sin、$\cos$cos 的极限：

$\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x} = 0,\qquad \lim_{x \to \infty}\frac{\sin x}{x} = 0$limx→0​xsinx1​=0,limx→∞​xsinx​=0

无穷小的比较

设 $\alpha$α、$\beta$β 是同一过程中的无穷小，看比值 $\lim \dfrac{\alpha}{\beta}$limβα​：

比值的极限	说法	例子（$x \to 0$x→0）
$0$0	$\alpha$α 是 $\beta$β 的高阶无穷小	$x^2$x2 是 $x$x 的高阶无穷小
不等于 $0$0 的常数	同阶无穷小	$\sin 2x$sin2x 与 $x$x 同阶，比值为 $2$2
$1$1	等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$α∼β	$\sin x \sim x$sinx∼x
$\infty$∞	$\alpha$α 是 $\beta$β 的低阶无穷小	$\sqrt{x}$x​ 是 $x$x 的低阶无穷小

当 $x \to 0$x→0 时，下面这些等价关系要背熟：

等价关系	备注
$\sin x \sim x$sinx∼x，$\tan x \sim x$tanx∼x	最常用
$\arcsin x \sim x$arcsinx∼x，$\arctan x \sim x$arctanx∼x	反三角函数
$\ln(1+x) \sim x$ln(1+x)∼x，$e^x - 1 \sim x$ex−1∼x	对数与指数
$1 - \cos x \sim \dfrac{x^2}{2}$1−cosx∼2x2​	带平方和系数 $\dfrac{1}{2}$21​
$(1+x)^a - 1 \sim ax$(1+x)a−1∼ax	如 $\sqrt{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{2}$1+x​−1∼2x​

替换时括号里的 $x$x 可以换成任何趋于 $0$0 的量，例如 $x \to 0$x→0 时 $\sin 3x \sim 3x$sin3x∼3x，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$ln(1+x2)∼x2。

等价无穷小替换的规则

求极限时，乘除的因子可以替换成它的等价无穷小；加减的项一般不能单独替换。例如：

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{2x} = \lim_{x \to 0}\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2},\qquad \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$limx→0​2xsin3x​=limx→0​2x3x​=23​,limx→0​x21−cosx​=limx→0​x22x2​​=21​

两个重要极限

第一个重要极限

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$limx→0​xsinx​=1

推广形式是 $\lim_{\square \to 0}\dfrac{\sin \square}{\square} = 1$lim□→0​□sin□​=1，方框里可以是任何趋于 $0$0 的量。用它要满足两个条件：式子是 $\dfrac{0}{0}$00​ 型；$\sin$sin 里的量和分母一致，并且趋于 $0$0。不一致时先凑成一致：

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 4$limx→0​xsin4x​=limx→0​4xsin4x​⋅4=4

第二个重要极限

$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e,\qquad \lim_{x \to 0}(1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$limx→∞​(1+x1​)x=e,limx→0​(1+x)x1​=e

这是 $1^{\infty}$1∞ 型，推广形式是 $\lim (1 + \square)^{\frac{1}{\square}} = e$lim(1+□)□1​=e（方框趋于 $0$0）。常用的变形有两个：

$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a,\qquad \lim_{x \to 0}(1 + ax)^{\frac{1}{x}} = e^a$limx→∞​(1+xa​)x=ea,limx→0​(1+ax)x1​=ea

例如 $\lim_{x \to \infty}\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^x = \lim\left[\left(1 + \dfrac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^2 = e^2$limx→∞​(1+x2​)x=lim[(1+x2​)2x​]2=e2，又如 $\lim_{x \to \infty}\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)^x = e^{-1}$limx→∞​(1−x1​)x=e−1。

易错提醒

• ❌ $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x} = 1$limx→∞​xsinx​=1
  ✅ 结果是 $0$0
  第一个重要极限只在 $x \to 0$x→0 时成立；这里是有界量 $\sin x$sinx 乘无穷小 $\dfrac{1}{x}$x1​。

• ❌ $\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x - \sin x}{x^3}$limx→0​x3tanx−sinx​ 里把 $\tan x$tanx、$\sin x$sinx 都换成 $x$x，得到 $0$0
  ✅ 加减的项不能单独替换，正确结果是 $\dfrac{1}{2}$21​
  替换只对乘除因子安全。

• ❌ $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 3x}{x} = 1$limx→0​xsin3x​=1
  ✅ 结果是 $3$3
  $\sin$sin 里是 $3x$3x，分母是 $x$x，要凑成 $\dfrac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$3xsin3x​⋅3。

• ❌ $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x = 1$limx→∞​(1+x1​)x=1，理由是「$1$1 的任何次方都是 $1$1」
  ✅ 结果是 $e$e
  $1^{\infty}$1∞ 是未定式，底数只是趋于 $1$1，并不等于 $1$1。

• ❌ $\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x = e$limx→∞​(1+x2​)x=e
  ✅ 结果是 $e^2$e2
  指数里要凑出 $\dfrac{x}{2}$2x​，剩下的 $2$2 变成 $e$e 的指数。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x \to 0}\dfrac{\tan 5x}{\sin 2x}$limx→0​sin2xtan5x​。

解：$x \to 0$x→0 时，$\tan 5x \sim 5x$tan5x∼5x，$\sin 2x \sim 2x$sin2x∼2x，所以

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan 5x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0}\frac{5x}{2x} = \frac{5}{2}$limx→0​sin2xtan5x​=limx→0​2x5x​=25​

答案：$\dfrac{5}{2}$25​

例题 2

求 $\lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \cos 2x}{x \sin x}$limx→0​xsinx1−cos2x​。

解：$1 - \cos 2x \sim \dfrac{(2x)^2}{2} = 2x^2$1−cos2x∼2(2x)2​=2x2，$x\sin x \sim x \cdot x = x^2$xsinx∼x⋅x=x2，所以

$\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos 2x}{x\sin x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x^2}{x^2} = 2$limx→0​xsinx1−cos2x​=limx→0​x22x2​=2

答案：$2$2

例题 3

求 $\lim_{x \to \infty}\left(\dfrac{x+3}{x}\right)^{2x}$limx→∞​(xx+3​)2x。

解：先化成 $\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{2x}$(1+x3​)2x，它是 $1^{\infty}$1∞ 型。写成 $\left[\left(1 + \dfrac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3}}\right]^{6}$[(1+x3​)3x​]6，方括号内趋于 $e$e，所以结果是 $e^6$e6。

答案：$e^6$e6

本节小结

• 无穷小是极限为 $0$0 的变量；无穷小乘有界量仍是无穷小，所以 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x} = 0$limx→∞​xsinx​=0。
• 比较无穷小看比值的极限：$0$0 为高阶，常数为同阶，$1$1 为等价，$\infty$∞ 为低阶。
• 乘除的因子可以换成等价无穷小，加减的项不能单独替换。
• 第一个重要极限 $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$limx→0​xsinx​=1，用时让 $\sin$sin 里的量与分母一致且趋于 $0$0。
• 第二个重要极限是 $1^{\infty}$1∞ 型：$\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{a}{x}\right)^x = e^a$limx→∞​(1+xa​)x=ea，$\lim_{x\to0}(1+ax)^{\frac{1}{x}} = e^a$limx→0​(1+ax)x1​=ea。