不定积分的换元积分法

本节导读

换元积分法是不定积分里最常用的方法，几乎每道解答题里的积分都会用到。它分两类：第一类换元法，也叫凑微分法，把被积表达式「凑」成某个函数的微分；第二类换元法，把根式或复杂的自变量用新变量代换掉。

试卷里，凑微分是常考的一类，选择题、填空题、解答题都可能出现；带根式的积分用第二类换元；三角代换是第二类换元的一种特殊形式，掌握三种基本代换即可。

第一类换元法（凑微分法）

如果被积函数能写成 $f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$f(φ(x))φ′(x) 的形式，就可以把 $\varphi'(x)\,dx$φ′(x)dx 凑成 $d\varphi(x)$dφ(x)，令 $u = \varphi(x)$u=φ(x)：

$\int f(\varphi(x))\,\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du = F(u) + C = F(\varphi(x)) + C$∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du=F(u)+C=F(φ(x))+C

步骤是：先看被积函数里有没有「一个函数」和「它的导数」同时出现；再把导数部分凑进 $d(\cdot)$d(⋅) 里；然后令 $u$u 等于那个函数，改写成关于 $u$u 的积分；积分后一定要把 $u$u 换回 $x$x。熟练以后可以不写 $u$u，直接在心里换元。

下面是最常用的凑微分形式，建议背熟前面这一组：

被积函数的形式	凑成
$f(ax + b)\,dx$f(ax+b)dx	$\dfrac{1}{a}\,d(ax + b)$a1​d(ax+b)
$f(x^2)\,x\,dx$f(x2)xdx	$\dfrac{1}{2}\,d(x^2)$21​d(x2)
$f(\ln x)\,\dfrac{dx}{x}$f(lnx)xdx​	$d(\ln x)$d(lnx)
$f(e^x)\,e^x\,dx$f(ex)exdx	$d(e^x)$d(ex)
$f(\sin x)\cos x\,dx$f(sinx)cosxdx	$d(\sin x)$d(sinx)
$f(\cos x)\sin x\,dx$f(cosx)sinxdx	$-\,d(\cos x)$−d(cosx)

还有这一组，同样常见：

被积函数的形式	凑成
$f(\sqrt{x})\,\dfrac{dx}{\sqrt{x}}$f(x​)x​dx​	$2\,d(\sqrt{x})$2d(x​)
$f\left(\dfrac{1}{x}\right)\dfrac{dx}{x^2}$f(x1​)x2dx​	$-\,d\left(\dfrac{1}{x}\right)$−d(x1​)
$f(\tan x)\sec^2 x\,dx$f(tanx)sec2xdx	$d(\tan x)$d(tanx)
$f(\arctan x)\,\dfrac{dx}{1 + x^2}$f(arctanx)1+x2dx​	$d(\arctan x)$d(arctanx)
$f(\arcsin x)\,\dfrac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}$f(arcsinx)1−x2​dx​	$d(\arcsin x)$d(arcsinx)

看几个典型的例子：

$\int (3x+2)^4\,dx = \frac{1}{3}\int (3x+2)^4\,d(3x+2) = \frac{(3x+2)^5}{15} + C$∫(3x+2)4dx=31​∫(3x+2)4d(3x+2)=15(3x+2)5​+C

$\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{x^2}\,d(x^2) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C,\qquad \int\frac{dx}{x\ln x} = \int\frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln\lvert\ln x\rvert + C$∫xex2dx=21​∫ex2d(x2)=21​ex2+C,∫xlnxdx​=∫lnxd(lnx)​=ln∣lnx∣+C

几个可以直接用的结果

下面这些结果都是凑微分得到的，做题时可以直接引用：

$\int\tan x\,dx = -\ln\lvert\cos x\rvert + C,\qquad \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$∫tanxdx=−ln∣cosx∣+C,∫cotxdx=ln∣sinx∣+C

以 $\tan x$tanx 为例：$\int\tan x\,dx = \int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int\dfrac{d(\cos x)}{\cos x} = -\ln\lvert\cos x\rvert + C$∫tanxdx=∫cosxsinx​dx=−∫cosxd(cosx)​=−ln∣cosx∣+C。另外还有

$\int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C,\qquad \int\frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C\quad(a \gt 0)$∫a2+x2dx​=a1​arctanax​+C,∫a2−x2​dx​=arcsinax​+C(a>0)

$\int\sec x\,dx = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+C 和 $\int\csc x\,dx = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C 了解即可。

第二类换元法

被积函数里有根式（如 $\sqrt{ax+b}$ax+b​）、又凑不出微分时，用第二类换元：令根式整体等于 $t$t，解出 $x = \varphi(t)$x=φ(t)，算出 $dx = \varphi'(t)\,dt$dx=φ′(t)dt，代入后积分，最后用 $t$t 与 $x$x 的关系回代。目的是把根号去掉。

$\int\frac{dx}{1 + \sqrt{x}}\ :\ \text{令 } t = \sqrt{x},\ x = t^2,\ dx = 2t\,dt$∫1+x​dx​ : 令 t=x​, x=t2, dx=2tdt

$\int\frac{2t}{1 + t}\,dt = 2\int\left(1 - \frac{1}{1 + t}\right)dt = 2t - 2\ln(1 + t) + C = 2\sqrt{x} - 2\ln(1 + \sqrt{x}) + C$∫1+t2t​dt=2∫(1−1+t1​)dt=2t−2ln(1+t)+C=2x​−2ln(1+x​)+C

再看一个：$\int x\sqrt{x-1}\,dx$∫xx−1​dx，令 $t = \sqrt{x-1}$t=x−1​，则 $x = t^2 + 1$x=t2+1，$dx = 2t\,dt$dx=2tdt：

$\int (t^2 + 1)\cdot t\cdot 2t\,dt = 2\int (t^4 + t^2)\,dt = \frac{2}{5}t^5 + \frac{2}{3}t^3 + C = \frac{2}{5}(x-1)^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}(x-1)^{\frac{3}{2}} + C$∫(t2+1)⋅t⋅2tdt=2∫(t4+t2)dt=52​t5+32​t3+C=52​(x−1)25​+32​(x−1)23​+C