定积分的概念与性质

本节导读

定积分是微积分的第二个核心概念。导数研究的是「变化率」，定积分研究的是「累积量」：曲边图形的面积、变速运动的路程，都可以用它表示。这一节只讲定积分「是什么」和「有哪些性质」，怎么计算留到下一节（牛顿-莱布尼茨公式）。

试卷里，用几何意义求定积分的值、用性质做简单的运算、比较两个定积分的大小、估计定积分的取值范围，都是选择题、填空题的常见考点。

定积分的定义

设函数 $f(x)$f(x) 在区间 $[a, b]$[a,b] 上有界。求曲线下方面积的思路分四步：把 $[a, b]$[a,b] 分成 $n$n 个小区间（分割），在每个小区间上任取一点 $\xi_i$ξi​，用小矩形的面积 $f(\xi_i)\Delta x_i$f(ξi​)Δxi​ 代替小曲边梯形的面积（近似），把这些小矩形的面积加起来（求和），再让最长的小区间长度 $\lambda \to 0$λ→0 取极限：

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,\Delta x_i$∫ab​f(x)dx=limλ→0​∑i=1n​f(ξi​)Δxi​

其中 $a$a 叫积分下限，$b$b 叫积分上限，$[a, b]$[a,b] 叫积分区间。例如用定义求 $\int_0^1 x\,dx$∫01​xdx：把 $[0, 1]$[0,1] 分成 $n$n 等份，取右端点 $\xi_i = \dfrac{i}{n}$ξi​=ni​，则

$\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n} = \frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \longrightarrow \frac{1}{2}\quad(n \to \infty)$∑i=1n​ni​⋅n1​=n21​⋅2n(n+1)​=2nn+1​⟶21​(n→∞)

关于定积分有几点要记住：它是一个数，只由被积函数和积分区间决定，与积分变量用什么字母无关，即 $\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt$∫ab​f(x)dx=∫ab​f(t)dt。规定 $\int_a^a f(x)\,dx = 0$∫aa​f(x)dx=0，并且交换上下限要变号：$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$∫ba​f(x)dx=−∫ab​f(x)dx。在闭区间上连续的函数一定可积。

定积分的几何意义

当 $f(x) \geq 0$f(x)≥0 时，$\int_a^b f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx 就是曲线 $y = f(x)$y=f(x)、$x$x 轴以及直线 $x = a$x=a、$x = b$x=b 围成的曲边梯形的面积。当 $f(x) \leq 0$f(x)≤0 时，曲边梯形在 $x$x 轴下方，积分值是面积的相反数。一般情况下，定积分是面积的代数和：$x$x 轴上方的面积取正，下方的面积取负。

利用这个意义，有些定积分不用算，直接看图形就能写出结果：

积分	图形	结果
$\int_0^b x\,dx$∫0b​xdx	底 $b$b、高 $b$b 的直角三角形	$\dfrac{b^2}{2}$2b2​
$\int_{-1}^{1}\sqrt{1 - x^2}\,dx$∫−11​1−x2​dx	半径为 $1$1 的上半圆	$\dfrac{\pi}{2}$2π​
$\int_0^a\sqrt{a^2 - x^2}\,dx$∫0a​a2−x2​dx	半径为 $a$a 的四分之一圆	$\dfrac{\pi a^2}{4}$4πa2​
$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$∫02π​sinxdx	上下两部分面积相等	$0$0

定积分的性质

设 $f(x)$f(x)、$g(x)$g(x) 在所需的区间上都可积，则

1. 线性性质：$\int_a^b [k_1 f(x) \pm k_2 g(x)]\,dx = k_1\int_a^b f(x)\,dx \pm k_2\int_a^b g(x)\,dx$∫ab​[k1​f(x)±k2​g(x)]dx=k1​∫ab​f(x)dx±k2​∫ab​g(x)dx。
2. 可加性：$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx，$c$c 在区间内外都成立，只要各个积分存在。
3. $\int_a^b 1\,dx = b - a$∫ab​1dx=b−a。
4. 比较性质：在 $[a, b]$[a,b] 上若 $f(x) \leq g(x)$f(x)≤g(x)，则 $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$∫ab​f(x)dx≤∫ab​g(x)dx。
5. 估值定理：在 $[a, b]$[a,b] 上若 $m \leq f(x) \leq M$m≤f(x)≤M，则 $m(b - a) \leq \int_a^b f(x)\,dx \leq M(b - a)$m(b−a)≤∫ab​f(x)dx≤M(b−a)。
6. 积分中值定理：$f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，则存在 $\xi \in [a, b]$ξ∈[a,b]，使 $\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b - a)$∫ab​f(x)dx=f(ξ)(b−a)。

积分中值定理中的 $f(\xi) = \dfrac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$f(ξ)=b−a1​∫ab​f(x)dx 叫做 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上的平均值。

比较大小与估值

比较两个定积分的大小，先在积分区间上比较被积函数的大小，再用比较性质。注意同样两个函数，在不同的区间上大小关系可能相反：