函数与极限的概念

本节导读

函数是微积分研究的对象，极限是微积分的工具。这一节分两半：前半回顾函数的基本知识（定义域、复合函数、反函数、奇偶性、周期性），后半讲极限的含义以及左极限、右极限。

试卷里，定义域、奇偶性、周期、复合函数多以选择题、填空题的形式出现；极限的概念则常考「极限是否存在」「分段函数在分段点的极限」。学完这一节，你应该能求常见函数的定义域，判断奇偶性和周期，写出复合函数，并会用左右极限判断极限存不存在。

函数的基本知识

定义域怎么求

求定义域就是找出式子有意义的所有 $x$x，把每一处的限制写成不等式，再取交集：

式子	要求
分式 $\dfrac{1}{g(x)}$g(x)1​	$g(x) \neq 0$g(x)=0
偶次根式 $\sqrt{g(x)}$g(x)​	$g(x) \geq 0$g(x)≥0
对数 $\ln g(x)$lng(x)	$g(x) \gt 0$g(x)>0
反正弦 $\arcsin g(x)$arcsing(x)	$-1 \leq g(x) \leq 1$−1≤g(x)≤1
正切 $\tan x$tanx	$x \neq k\pi + \dfrac{\pi}{2}$x=kπ+2π​（$k$k 为整数）
多项式、指数、正弦、余弦	全体实数

例如 $y = \dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{\ln(x+1)}$y=ln(x+1)4−x2​​：由 $4 - x^2 \geq 0$4−x2≥0 得 $-2 \leq x \leq 2$−2≤x≤2；由 $x + 1 \gt 0$x+1>0 得 $x \gt -1$x>−1；分母不为零，$\ln(x+1) \neq 0$ln(x+1)=0，即 $x \neq 0$x=0。三者取交集，定义域是 $(-1, 0) \cup (0, 2]$(−1,0)∪(0,2]。

复合函数与反函数

如果 $y = f(u)$y=f(u)，$u = g(x)$u=g(x)，把 $u$u 代进去得到的 $y = f(g(x))$y=f(g(x)) 叫复合函数。复合有先后：设 $f(x) = x^2 + 1$f(x)=x2+1，$g(x) = \sin x$g(x)=sinx，则 $f(g(x)) = \sin^2 x + 1$f(g(x))=sin2x+1，而 $g(f(x)) = \sin(x^2 + 1)$g(f(x))=sin(x2+1)，两者不相同。

反函数是把「$x$x 算出 $y$y」反过来变成「$y$y 算出 $x$x」。求法是两步：从 $y = f(x)$y=f(x) 解出 $x$x，再把 $x$x、$y$y 互换。例如 $y = 2x + 3$y=2x+3，解出 $x = \dfrac{y - 3}{2}$x=2y−3​，互换得反函数 $y = \dfrac{x - 3}{2}$y=2x−3​。常见的反函数对有：$e^x$ex 与 $\ln x$lnx，$x^2$x2（$x \geq 0$x≥0）与 $\sqrt{x}$x​。函数与反函数的图像关于直线 $y = x$y=x 对称。

奇偶性、周期性、有界性

性质	判断式	常见例子
偶函数（图像关于 $y$y 轴对称）	$f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)	$x^2$x2，$\cos x$cosx，$\lvert x \rvert$∣x∣
奇函数（图像关于原点对称）	$f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x)	$x^3$x3，$\sin x$sinx，$\tan x$tanx
周期函数	$f(x + T) = f(x)$f(x+T)=f(x)	$\sin x$sinx 的最小正周期 $2\pi$2π，$\tan x$tanx 的是 $\pi$π
有界函数	$\lvert f(x) \rvert \leq M$∣f(x)∣≤M	$\sin x$sinx，$\cos x$cosx，$\arctan x$arctanx

奇偶性的运算口诀：同性相加不变，奇乘奇得偶，偶乘偶得偶，奇乘偶得奇。周期的公式：$\sin(\omega x)$sin(ωx) 与 $\cos(\omega x)$cos(ωx) 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{\lvert \omega \rvert}$∣ω∣2π​，$\tan(\omega x)$tan(ωx) 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{\lvert \omega \rvert}$∣ω∣π​。

极限的概念

极限是「趋势」

当 $x$x 无限接近 $x_0$x0​（但不等于 $x_0$x0​）时，如果 $f(x)$f(x) 无限接近某个常数 $A$A，就说 $A$A 是 $x \to x_0$x→x0​ 时 $f(x)$f(x) 的极限，记作

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$limx→x0​​f(x)=A

关键在于：极限只看 $x$x 靠近 $x_0$x0​ 时 $f(x)$f(x) 的变化趋势，与 $f(x_0)$f(x0​) 有没有定义、等于几都没有关系。例如 $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$f(x)=x−1x2−1​ 在 $x = 1$x=1 处没有定义，但 $x \neq 1$x=1 时 $f(x) = x + 1$f(x)=x+1，所以 $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$limx→1​f(x)=2。

$x \to \infty$x→∞ 的极限同理，常用的几个要记住：

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0,\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0,\qquad \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2}$limx→∞​x1​=0,limx→+∞​e−x=0,limx→+∞​arctanx=2π​,limx→−∞​arctanx=−2π​

$\arctan x$arctanx 在 $x \to +\infty$x→+∞ 与 $x \to -\infty$x→−∞ 时趋向的值不同，所以 $\lim_{x \to \infty} \arctan x$limx→∞​arctanx 不存在。$\sin x$sinx 在 $x \to \infty$x→∞ 时来回振荡，极限也不存在。

左极限与右极限

从左边靠近 $x_0$x0​ 的极限叫左极限，记作 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$limx→x0−​​f(x)；从右边靠近的叫右极限，记作 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$limx→x0+​​f(x)。它们和极限的关系是：

$\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = A$limx→x0​​f(x)=A⟺limx→x0−​​f(x)=limx→x0+​​f(x)=A

所以遇到分段函数的分段点，或者含绝对值、含 $e^{1/x}$e1/x 的式子，一定要分左右两边算。例如 $\lim_{x \to 0} \dfrac{\lvert x \rvert}{x}$limx→0​x∣x∣​：$x \gt 0$x>0 时式子等于 $1$1，$x \lt 0$x<0 时等于 $-1$−1，左右极限不相等，所以极限不存在。又如 $x \to 0^+$x→0+ 时 $e^{1/x} \to +\infty$e1/x→+∞，而 $x \to 0^-$x→0− 时 $e^{1/x} \to 0$e1/x→0。

易错提醒

• ❌ $f(x_0)$f(x0​) 没有定义，所以 $\lim_{x \to x_0} f(x)$limx→x0​​f(x) 不存在
  ✅ 极限与 $f(x_0)$f(x0​) 无关，只看 $x_0$x0​ 附近的趋势
  比如上面 $\dfrac{x^2-1}{x-1}$x−1x2−1​ 在 $x=1$x=1 没有定义，极限却是 $2$2。

• ❌ $f(g(x))$f(g(x)) 和 $g(f(x))$g(f(x)) 是一回事
  ✅ 复合的先后不同，结果一般不同
  先代入哪个函数，就要把它整体代进去。

• ❌ $y = \sin 2x$y=sin2x 的周期是 $2\pi$2π
  ✅ 周期是 $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$22π​=π
  周期要除以 $x$x 前面的系数 $\omega$ω。

• ❌ $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}$limx→∞​arctanx=2π​
  ✅ $x \to +\infty$x→+∞ 时是 $\dfrac{\pi}{2}$2π​，$x \to -\infty$x→−∞ 时是 $-\dfrac{\pi}{2}$−2π​，双向极限不存在
  $x \to \infty$x→∞ 指的是正负两个方向都要考虑。

• ❌ 分段函数求分段点处的极限，只代入其中一段
  ✅ 左边一段算左极限，右边一段算右极限，两者相等才有极限
  分段点的函数值与极限是两件事。

例题精讲

例题 1

求函数 $f(x) = \sqrt{x - 1} + \ln(3 - x)$f(x)=x−1​+ln(3−x) 的定义域。

解：根号要求 $x - 1 \geq 0$x−1≥0，得 $x \geq 1$x≥1；对数要求 $3 - x \gt 0$3−x>0，得 $x \lt 3$x<3。取交集：$1 \leq x \lt 3$1≤x<3。

答案：$[1, 3)$[1,3)

例题 2

判断 $f(x) = x^2 \sin x$f(x)=x2sinx 的奇偶性。

解：$f(-x) = (-x)^2 \sin(-x) = x^2 \cdot (-\sin x) = -x^2 \sin x = -f(x)$f(−x)=(−x)2sin(−x)=x2⋅(−sinx)=−x2sinx=−f(x)，所以 $f(x)$f(x) 是奇函数。也可以用口诀：$x^2$x2 是偶函数，$\sin x$sinx 是奇函数，偶乘奇得奇。

答案：奇函数

例题 3

设 $f(x) = \begin{cases} 2x + k, & x \lt 1 \\ x^2 + 2, & x \geq 1 \end{cases}$f(x)={2x+k,x2+2,​x<1x≥1​，若 $\lim_{x \to 1} f(x)$limx→1​f(x) 存在，求 $k$k 的值。

解：分段点 $x = 1$x=1，分别求左右极限。左极限 $\lim_{x \to 1^-} (2x + k) = 2 + k$limx→1−​(2x+k)=2+k，右极限 $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + 2) = 3$limx→1+​(x2+2)=3。极限存在要求两者相等，$2 + k = 3$2+k=3，所以 $k = 1$k=1。

答案：$k = 1$k=1

本节小结

• 求定义域：分母不为零，偶次根号内不小于零，对数的真数大于零，多个条件取交集。
• 复合函数有先后，$f(g(x))$f(g(x)) 与 $g(f(x))$g(f(x)) 一般不同；反函数的图像与原函数关于 $y = x$y=x 对称。
• 偶函数 $f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)，奇函数 $f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x)；$\sin(\omega x)$sin(ωx) 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{\lvert \omega \rvert}$∣ω∣2π​。
• 极限只看趋势，与 $f(x_0)$f(x0​) 无关；$\lim_{x \to x_0} f(x)$limx→x0​​f(x) 存在的充要条件是左右极限都存在且相等。
• 分段点、绝对值、$e^{1/x}$e1/x 这类式子，必须分左右两边求极限。