不定积分的分部积分法

本节导读

换元积分法对付的是「复合」，分部积分法对付的是「乘积」：当被积函数是两类不同函数的乘积，比如 $x e^x$xex、$x\sin x$xsinx、$x\ln x$xlnx、$x\arctan x$xarctanx，换元法往往无从下手，这时就要用分部积分法。它是不定积分里的第三个主要工具，也是定积分计算的重要方法。

试卷里，分部积分法多出现在解答题和填空题里，一般是一次分部（幂函数乘指数函数或三角函数、对数函数、反三角函数）；偶尔考两次分部或与换元结合。

分部积分公式

由乘积的求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′，两边积分，移项就得到分部积分公式：

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$∫udv=uv−∫vdu

这里 $dv = v'\,dx$dv=v′dx，$du = u'\,dx$du=u′dx。它的思路是：原来的积分 $\int u\,dv$∫udv 不好求，就把它换成另一个积分 $\int v\,du$∫vdu，只要后者更容易求，问题就解决了。所以关键是选对 $u$u 和 $dv$dv，选对了积分变简单，选反了积分反而更复杂。

u 与 dv 的选取

口诀是「反对幂指三」：反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数，排在前面的选作 $u$u，排在后面的和 $dx$dx 一起凑成 $dv$dv。下面把常见类型列成表：

被积函数的类型	选法	说明
$x^n e^{ax}$xneax、$x^n\sin ax$xnsinax、$x^n\cos ax$xncosax	$u = x^n$u=xn	每分部一次，幂次降低一次
$x^n\ln x$xnlnx	$u = \ln x$u=lnx	对数求导后变成代数式
$x^n\arctan x$xnarctanx、$x^n\arcsin x$xnarcsinx	$u =$u= 反三角函数	反三角求导后变成代数式
$\ln x$lnx、$\arctan x$arctanx（单独出现）	$u =$u= 它本身，$dv = dx$dv=dx	把 $dx$dx 当作 $dv$dv
$e^{ax}\sin bx$eaxsinbx、$e^{ax}\cos bx$eaxcosbx	任选一个当 $u$u	分部两次后原积分重现

一次分部的典型例子

$\int x e^x\,dx\ :\ u = x,\ dv = e^x\,dx\ \Longrightarrow\ x e^x - \int e^x\,dx = (x - 1)e^x + C$∫xexdx : u=x, dv=exdx ⟹ xex−∫exdx=(x−1)ex+C

$\int x\ln x\,dx\ :\ u = \ln x,\ dv = x\,dx\ \Longrightarrow\ \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$∫xlnxdx : u=lnx, dv=xdx ⟹ 2x2​lnx−∫2x​dx=2x2​lnx−4x2​+C

$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$∫lnxdx=xlnx−∫x⋅x1​dx=xlnx−x+C

$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$∫arctanxdx=xarctanx−∫1+x2x​dx=xarctanx−21​ln(1+x2)+C

需要分部两次的积分

幂次是 $2$2 时要分部两次，每次都让幂次降低一次：

$\int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx = x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$∫x2exdx=x2ex−2∫xexdx=x2ex−2(x−1)ex+C=(x2−2x+2)ex+C

循环型

指数函数乘正弦（余弦）时，分部两次以后会重新出现原来的积分，这时把它当作未知数，移项解方程。要点是两次分部时 $u$u 要选同一类函数：

$I = \int e^x\sin x\,dx = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x - e^x\cos x - I$I=∫exsinxdx=exsinx−∫excosxdx=exsinx−excosx−I

所以 $2I = e^x(\sin x - \cos x)$2I=ex(sinx−cosx)，得

$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x}{2}(\sin x - \cos x) + C$∫exsinxdx=2ex​(sinx−cosx)+C

换元与分部结合

有的积分要先换元去掉根号，换元后再用分部积分。例如 $\int e^{\sqrt{x}}\,dx$∫ex​dx，令 $t = \sqrt{x}$t=x​，则 $x = t^2$x=t2，$dx = 2t\,dt$dx=2tdt：

$\int e^{\sqrt{x}}\,dx = 2\int te^t\,dt = 2(t - 1)e^t + C = 2(\sqrt{x} - 1)e^{\sqrt{x}} + C$∫ex​dx=2∫tetdt=2(t−1)et+C=2(x​−1)ex​+C

这里 $\int te^t\,dt$∫tetdt 用的就是前面的一次分部结果。换元时要记得把 $dx$dx 一起换成 $2t\,dt$2tdt，最后回代成 $x$x。