复合函数求导与隐函数求导

本节导读

上一节的公式只能求「单层」的函数，而试卷里的函数大多是复合的，比如 $\sin 2x$sin2x、$e^{-x^2}$e−x2、$\ln(1+x^2)$ln(1+x2)。这一节学链式法则，它是整个求导里最重要、也最容易漏步骤的一条规则。后半节学隐函数求导：有些方程不方便解出 $y$y，要直接在方程两边求导。

试卷里，复合函数求导是常考内容，选择题、填空题、解答题里都可能出现；隐函数求导多是填空题或解答题，常要求算出某一点处的导数值。

复合函数的链式法则

如果 $y = f(u)$y=f(u)，$u = g(x)$u=g(x) 都可导，那么复合函数 $y = f(g(x))$y=f(g(x)) 可导，并且

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$dxdy​=dudy​⋅dxdu​=f′(g(x))⋅g′(x)

口诀：由外向内，层层求导，再相乘。具体分三步：先分清层次，哪个是外层函数、哪个是内层；再对外层求导，里面的式子原样保留；最后乘上内层对 $x$x 的导数。

函数	拆成	导数
$y = (3x + 1)^5$y=(3x+1)5	$y = u^5$y=u5，$u = 3x + 1$u=3x+1	$5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$5(3x+1)4⋅3=15(3x+1)4
$y = \sin 2x$y=sin2x	$y = \sin u$y=sinu，$u = 2x$u=2x	$2\cos 2x$2cos2x
$y = e^{-x^2}$y=e−x2	$y = e^u$y=eu，$u = -x^2$u=−x2	$-2x\,e^{-x^2}$−2xe−x2
$y = \ln(1 + x^2)$y=ln(1+x2)	$y = \ln u$y=lnu，$u = 1 + x^2$u=1+x2	$\dfrac{2x}{1 + x^2}$1+x22x​
$y = \sqrt{1 - x^2}$y=1−x2​	$y = \sqrt{u}$y=u​，$u = 1 - x^2$u=1−x2	$\dfrac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​−x​

把外层是 $\ln$ln、$e$e、$\sin$sin、乘方、开方的情形记成推广公式，做题时可以一步写出：

外层	导数
$\ln f(x)$lnf(x)	$\dfrac{f'(x)}{f(x)}$f(x)f′(x)​
$e^{f(x)}$ef(x)	$f'(x)\,e^{f(x)}$f′(x)ef(x)
$\sin f(x)$sinf(x)	$f'(x)\cos f(x)$f′(x)cosf(x)
$[f(x)]^n$[f(x)]n	$n[f(x)]^{n-1}f'(x)$n[f(x)]n−1f′(x)
$\sqrt{f(x)}$f(x)​	$\dfrac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$2f(x)​f′(x)​

多层复合与混合运算

不止两层时，一层一层往里剥，每剥一层就乘上一个导数。例如 $y = \sin^2(3x)$y=sin2(3x) 是三层：先平方，再取正弦，最后是 $3x$3x：

$y' = 2\sin 3x \cdot \cos 3x \cdot 3 = 3\sin 6x$y′=2sin3x⋅cos3x⋅3=3sin6x

再如 $y = \ln\cos(e^x)$y=lncos(ex) 也是三层，由外向内依次是 $\ln$ln、$\cos$cos、$e^x$ex：

$y' = \frac{1}{\cos(e^x)}\cdot\left(-\sin(e^x)\right)\cdot e^x = -e^x\tan(e^x)$y′=cos(ex)1​⋅(−sin(ex))⋅ex=−extan(ex)

链式法则常和乘积、商的法则混合使用，先看最外层是什么运算。例如 $y = xe^{-2x}$y=xe−2x，最外层是乘积：

$y' = e^{-2x} + x\cdot(-2)e^{-2x} = (1 - 2x)e^{-2x}$y′=e−2x+x⋅(−2)e−2x=(1−2x)e−2x

隐函数求导

由方程 $F(x, y) = 0$F(x,y)=0 确定的函数 $y = y(x)$y=y(x) 叫隐函数。有的方程解不出 $y$y，或者解出来很繁，这时不解，直接在方程两边对 $x$x 求导。要点只有一个：$y$y 是 $x$x 的函数，所以含 $y$y 的项要用链式法则，比如 $(y^2)' = 2y\,y'$(y2)′=2yy′。求导后得到一个关于 $y'$y′ 的方程，解出 $y'$y′ 即可。

方程里的项	对 $x$x 求导
$y$y	$y'$y′
$y^2$y2	$2y\,y'$2yy′
$xy$xy	$y + x\,y'$y+xy′
$x^2 y$x2y	$2xy + x^2 y'$2xy+x2y′
$e^y$ey	$e^y\,y'$eyy′
$\sin y$siny	$\cos y\cdot y'$cosy⋅y′
$\ln y$lny	$\dfrac{y'}{y}$yy′​

例如 $x^2 + y^2 = 25$x2+y2=25，两边对 $x$x 求导：$2x + 2y\,y' = 0$2x+2yy′=0，解得 $y' = -\dfrac{x}{y}$y′=−yx​。在点 $(3, 4)$(3,4) 处，$y' = -\dfrac{3}{4}$y′=−43​。

又如 $e^y + xy = e$ey+xy=e，两边求导：$e^y y' + y + x y' = 0$eyy′+y+xy′=0，解得 $y' = -\dfrac{y}{e^y + x}$y′=−ey+xy​。要求 $x = 0$x=0 处的导数，先把 $x = 0$x=0 代入方程得 $e^y = e$ey=e，即 $y = 1$y=1，再代入得 $y'\big|_{x=0} = -\dfrac{1}{e}$y′​x=0​=−e1​。

隐函数的导数里通常同时含 $x$x 和 $y$y，这是正常的。求某一点处的导数值时，如果题目只给了 $x$x，要先用原方程求出对应的 $y$y。

易错提醒

• ❌ $(\sin 2x)' = \cos 2x$(sin2x)′=cos2x
  ✅ $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$(sin2x)′=2cos2x
  忘了乘内层函数 $2x$2x 的导数。

• ❌ $(e^{x^2})' = e^{x^2}$(ex2)′=ex2
  ✅ $(e^{x^2})' = 2x\,e^{x^2}$(ex2)′=2xex2
  外层 $e^u$eu 的导数是它自己，但还要乘 $u' = 2x$u′=2x。

• ❌ $\left[\ln(2x + 1)\right]' = \dfrac{1}{2x + 1}$[ln(2x+1)]′=2x+11​
  ✅ $\left[\ln(2x + 1)\right]' = \dfrac{2}{2x + 1}$[ln(2x+1)]′=2x+12​
  分子是真数的导数，不是 $1$1。

• ❌ 隐函数求导时，$(y^2)' = 2y$(y2)′=2y
  ✅ $(y^2)' = 2y\,y'$(y2)′=2yy′
  $y$y 是 $x$x 的函数，必须乘 $y'$y′。

• ❌ 隐函数求导时，$(xy)' = y$(xy)′=y
  ✅ $(xy)' = y + x\,y'$(xy)′=y+xy′
  $xy$xy 是两个函数的乘积，要用乘积法则。

• ❌ 求隐函数在 $x = x_0$x=x0​ 处的导数，只把 $x_0$x0​ 代进 $y'$y′ 的表达式
  ✅ 还要先由方程求出 $x_0$x0​ 对应的 $y_0$y0​，两个值都代入
  结果里含 $y$y 时必须知道 $y$y 的值。

例题精讲

例题 1

求 $y = \ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)$y=ln(x+1+x2​) 的导数。

解：外层是 $\ln$ln，导数为 $\dfrac{(\text{真数})'}{\text{真数}}$真数(真数)′​。真数的导数为 $1 + \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \dfrac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}$1+1+x2​x​=1+x2​1+x2​+x​，于是

$y' = \frac{\frac{\sqrt{1 + x^2} + x}{\sqrt{1 + x^2}}}{x + \sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$y′=x+1+x2​1+x2​1+x2​+x​​=1+x2​1​

答案：$y' = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$y′=1+x2​1​

例题 2

设 $y = e^{-x}\cos 2x$y=e−xcos2x，求 $y'$y′。

解：最外层是乘积，两个因子分别是复合函数：$(e^{-x})' = -e^{-x}$(e−x)′=−e−x，$(\cos 2x)' = -2\sin 2x$(cos2x)′=−2sin2x。

$y' = -e^{-x}\cos 2x + e^{-x}\cdot(-2\sin 2x) = -e^{-x}(\cos 2x + 2\sin 2x)$y′=−e−xcos2x+e−x⋅(−2sin2x)=−e−x(cos2x+2sin2x)

答案：$y' = -e^{-x}(\cos 2x + 2\sin 2x)$y′=−e−x(cos2x+2sin2x)

例题 3

方程 $x^3 + y^3 = 3xy$x3+y3=3xy 确定了 $y = y(x)$y=y(x)，求 $y'$y′，并求曲线在点 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$(23​,23​) 处的切线斜率。

解：两边对 $x$x 求导：$3x^2 + 3y^2 y' = 3y + 3x\,y'$3x2+3y2y′=3y+3xy′。整理得 $(y^2 - x)\,y' = y - x^2$(y2−x)y′=y−x2，所以

$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$y′=y2−xy−x2​

代入 $x = y = \dfrac{3}{2}$x=y=23​：分子 $\dfrac{3}{2} - \dfrac{9}{4} = -\dfrac{3}{4}$23​−49​=−43​，分母 $\dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}$49​−23​=43​，所以斜率为 $-1$−1。

答案：$y' = \dfrac{y - x^2}{y^2 - x}$y′=y2−xy−x2​，切线斜率为 $-1$−1

本节小结

• 链式法则：$\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x))\cdot g'(x)$dxdy​=f′(g(x))⋅g′(x)，由外向内，层层求导，再相乘。
• 常用推广：$[\ln f]' = \dfrac{f'}{f}$[lnf]′=ff′​，$[e^f]' = f'e^f$[ef]′=f′ef，$[\sin f]' = f'\cos f$[sinf]′=f′cosf，$[f^n]' = nf^{n-1}f'$[fn]′=nfn−1f′。
• 多层复合一层层往里剥；混合运算先看最外层是乘积、商还是复合。
• 隐函数求导：方程两边对 $x$x 求导，含 $y$y 的项用链式法则（$y$y 的导数写成 $y'$y′），再解出 $y'$y′。
• 求隐函数某点的导数值，要先由方程求出该点的 $y$y 值。