考试介绍与备考方法

本节导读

这一节是整门课的「地图」。高等数学（一）的试卷全部由计算和推导组成，没有需要背诵的大段文字，所以它是专升本几门考试里最讲方法、最靠练习的一科：方法懂了，再多练几遍，分数就会一点点提上来。

学完这一节，你应该清楚试卷有哪几种题型、每种题怎么答；知道 150 分钟怎么分配；有一份可以照着走的备考计划；并且把学微积分之前必须熟练的几项基本运算（指数对数、因式分解、三角函数、不等式）复习一遍，后面每一章都会用到它们。

试卷结构与三种题型

下面是目前能查到的资料里常见的试卷结构（参考，以当年大纲和考试院公告为准）：

题型	题数	每题分值	合计
选择题（单选）	10	4 分	40 分
填空题	10	4 分	40 分
解答题	7 至 8（说法不一）	按题分配	70 分

三种题型的答法不一样。

选择题

四个选项里只有一个对。能直接算出来就直接算；算不出来时，可以把选项代回去验证，或者先排除明显不对的选项。比如判断某个函数的导数写得对不对，可以取一个具体的 x 值代进去检验。

填空题

只写结果，不写过程，所以结果必须算对、化到最简。分数写成最简分数，根号、$\pi$π、$e$e 保留精确形式，不要自己换成小数。

解答题

要写出必要的步骤：先写用到的公式或方法，再代入计算，最后给出结论。解答题是按步骤给分的，会写的步骤一定要写上，不会做的题也不要整题空着。

考查范围与课程章节

大纲规定的考查范围可以分成六大块，本课程把它们分成十章。下表告诉你每一章在试卷里常以什么形式出现：

章	内容	常见题型
第一章	极限与连续	选择、填空求极限，解答题求极限
第二章	导数与微分	求导、求切线方程、求微分
第三章	中值定理与导数应用	洛必达法则，单调性与极值，最值应用题
第四章	不定积分	凑微分、换元、分部积分
第五章	定积分及应用	计算定积分，求面积和旋转体体积
第六章	空间解析几何与向量代数	向量运算，平面和直线方程
第七章	多元函数微分学	偏导数、全微分、极值
第八章	二重积分	化为累次积分计算
第九章	无穷级数	判断敛散性，求收敛半径
第十章	常微分方程	求通解、特解

各块的分值占比以当年大纲为准。可以确定的是：导数和积分是整门课的主干，后面的多元函数、二重积分、级数和微分方程，都是把它们推广或应用，所以前几章学扎实，后面会轻松很多。

150 分钟怎么分配

专升本高等数学（一）的考试时间是 150 分钟，满分 150 分，平均一分钟一分。建议这样分配：

环节	建议用时	做法
选择题和填空题（共 20 题）	约 40 分钟	平均每题 2 分钟，卡住就先跳过，做完再回头
解答题（7 至 8 题）	约 90 分钟	平均每题 11 至 13 分钟，先做会做的，再啃难的
检查	约 20 分钟	先查有没有漏题，再查符号、常数和计算

三段加起来正好 150 分钟。平时练习就按这个节奏计时，考场上才不会慌。

备考方法

数学考试靠练会，不靠看会。建议分三遍走完这门课：

1. 第一遍（按课程顺序学）：每节先读讲解，再自己动笔做例题，最后做本节练习。目标是看懂、会算。
2. 第二遍（整理错题）：把练习里做错的题抄到错题本上，写清楚错在哪一步。目标是把「不会」变成「会」。
3. 第三遍（限时综合）：把几节内容合在一起，按考试的题量和时间练。目标是又对又快。

每天 40 至 60 分钟，坚持下来比突击更有效。工作忙的时候，宁可每天只做一道完整的题，也不要攒到周末一次看十节。

基本运算回顾

微积分的难点往往不在微积分本身，而在代数和三角运算。下面把后面每一章都要用到的基本功回顾一遍。

指数与对数

运算	公式
同底数幂相乘	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$am⋅an=am+n
幂的乘方	$(a^m)^n = a^{mn}$(am)n=amn
负指数与分数指数	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$a−n=an1​，$a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$a21​=a​
对数的乘法	$\ln(ab) = \ln a + \ln b$ln(ab)=lna+lnb
对数的除法	$\ln \dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b$lnba​=lna−lnb
对数的乘方	$\ln a^n = n \ln a$lnan=nlna
互为反函数	$e^{\ln x} = x$elnx=x，$\ln e^x = x$lnex=x

这里的 $\ln$ln 是以 $e$e 为底的自然对数，$\ln e = 1$lne=1，$\ln 1 = 0$ln1=0。

因式分解

名称	公式
平方差	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$a2−b2=(a−b)(a+b)
完全平方	$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$(a±b)2=a2±2ab+b2
立方差	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
立方和	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

三角函数

特殊角的函数值要背熟：

角	$0$0	$\dfrac{\pi}{6}$6π​	$\dfrac{\pi}{4}$4π​	$\dfrac{\pi}{3}$3π​	$\dfrac{\pi}{2}$2π​
$\sin$sin	$0$0	$\dfrac{1}{2}$21​	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$23​​	$1$1
$\cos$cos	$1$1	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$23​​	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​	$\dfrac{1}{2}$21​	$0$0
$\tan$tan	$0$0	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$33​​	$1$1	$\sqrt{3}$3​	不存在

常用的恒等式有这几条，积分一章会反复用到降幂公式：

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1,\qquad \sin 2x = 2\sin x\cos x$sin2x+cos2x=1,sin2x=2sinxcosx

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2},\qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$sin2x=21−cos2x​,cos2x=21+cos2x​

不等式

一元二次不等式先求根，再看开口方向：设 $a \lt b$a<b，则 $(x-a)(x-b) \lt 0$(x−a)(x−b)<0 的解是 $a \lt x \lt b$a<x<b，$(x-a)(x-b) \gt 0$(x−a)(x−b)>0 的解是 $x \lt a$x<a 或 $x \gt b$x>b。

绝对值不等式：$\lvert x - a \rvert \lt r$∣x−a∣<r 等价于 $a - r \lt x \lt a + r$a−r<x<a+r。

易错提醒

• ❌ $\ln(a+b) = \ln a + \ln b$ln(a+b)=lna+lnb
  ✅ $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ln(ab)=lna+lnb
  对数只能把乘积拆成和，和的对数不能拆。

• ❌ $(a+b)^2 = a^2 + b^2$(a+b)2=a2+b2
  ✅ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$(a+b)2=a2+2ab+b2
  完全平方展开时不能漏掉中间的 $2ab$2ab。

• ❌ $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$a2+b2​=a+b
  ✅ $\sqrt{a^2 + b^2}$a2+b2​ 不能拆开，$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$a2​=∣a∣
  根号对加法不能分配。

• ❌ $\sin 2x = 2\sin x$sin2x=2sinx
  ✅ $\sin 2x = 2\sin x\cos x$sin2x=2sinxcosx
  二倍角里的 $2$2 在角里面，不能提到外面。

• ❌ $\dfrac{1}{a+b} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$a+b1​=a1​+b1​
  ✅ 分母里的加号不能拆成两个分式
  分式相加要通分，反过来拆也不成立。

• ❌ 填空题把 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​ 写成 $0.707$0.707
  ✅ 保留精确形式 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​
  近似值通常不算对。

例题精讲

例题 1

计算 $\ln e^3 + e^{\ln 5}$lne3+eln5。

解：$\ln e^3 = 3$lne3=3，$e^{\ln 5} = 5$eln5=5，所以原式 $= 3 + 5 = 8$=3+5=8。

答案：$8$8

例题 2

化简 $\dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$x−2x3−8​（$x \ne 2$x=2）。

解：用立方差公式 $x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$x3−8=(x−2)(x2+2x+4)，约去公因式 $x - 2$x−2 得

$\frac{x^3 - 8}{x - 2} = x^2 + 2x + 4$x−2x3−8​=x2+2x+4

答案：$x^2 + 2x + 4$x2+2x+4

例题 3

求 $\cos^2\dfrac{\pi}{8} - \sin^2\dfrac{\pi}{8}$cos28π​−sin28π​ 的值。

解：由二倍角公式 $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$cos2α=cos2α−sin2α，取 $\alpha = \dfrac{\pi}{8}$α=8π​，则原式 $= \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$=cos4π​=22​​。

答案：$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$22​​

本节小结

• 试卷满分 150 分、时间 150 分钟：选择题 10 题 × 4 分，填空题 10 题 × 4 分，解答题合计 70 分（参考，以当年大纲为准）。
• 选择题可以代入、排除；填空题只写最简结果；解答题要写步骤，按步骤给分。
• 时间分配参考：选择和填空约 40 分钟，解答题约 90 分钟，检查约 20 分钟。
• 备考分三遍：按顺序学会、整理错题、限时综合；每天坚持 40 至 60 分钟。
• 基本功要熟：对数只拆乘积，平方差、立方差公式，特殊角函数值，二倍角与降幂公式。