平面、直线与常见曲面

本节导读

上一节学了向量，这一节用向量来描述空间里的平面、直线和曲面。平面由「一个点加一个法向量」确定，直线由「一个点加一个方向向量」确定，所以这一节的核心就是：怎样找到法向量和方向向量，怎样用它们判断位置关系。最后认识几种常见曲面的方程。

试卷里，写平面或直线的方程、判断平行与垂直、求点到平面的距离、辨认曲面的类型，主要是选择题和填空题；解答题里偶尔出现求平面方程或直线方程。

平面方程

与平面垂直的非零向量叫平面的法向量。过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$M0​(x0​,y0​,z0​)、法向量为 $\boldsymbol{n} = (A, B, C)$n=(A,B,C) 的平面，方程是点法式：

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$A(x−x0​)+B(y−y0​)+C(z−z0​)=0

展开整理就是一般式 $Ax + By + Cz + D = 0$Ax+By+Cz+D=0，其中 $x$x、$y$y、$z$z 前面的系数 $(A, B, C)$(A,B,C) 正好是法向量。所以从一般式可以直接读出法向量。

求平面方程的关键是找一个点和一个法向量。如果已知平面过三个不共线的点 $P$P、$Q$Q、$S$S，法向量可以取 $\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PS}$PQ​×PS；如果已知平面与某个平面平行，法向量就直接取那个平面的法向量。

两个平面的位置关系由法向量决定：设两平面的法向量为 $\boldsymbol{n}_1$n1​、$\boldsymbol{n}_2$n2​，则平行等价于 $\boldsymbol{n}_1\ /\!/\ \boldsymbol{n}_2$n1​ // n2​，垂直等价于 $\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2 = 0$n1​⋅n2​=0。

点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$M0​(x0​,y0​,z0​) 到平面 $Ax + By + Cz + D = 0$Ax+By+Cz+D=0 的距离是

$d = \frac{\lvert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$d=A2+B2+C2​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

例如点 $(2, -1, 0)$(2,−1,0) 到平面 $2x + y - 2z + 3 = 0$2x+y−2z+3=0 的距离是 $\dfrac{\lvert 4 - 1 - 0 + 3\rvert}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{6}{3} = 2$4+1+4​∣4−1−0+3∣​=36​=2。

空间直线方程

与直线平行的非零向量叫直线的方向向量。过点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$M0​(x0​,y0​,z0​)、方向向量为 $\boldsymbol{s} = (m, n, p)$s=(m,n,p) 的直线，有两种常用的写法：

$\frac{x - x_0}{m} = \frac{y - y_0}{n} = \frac{z - z_0}{p}\ (\text{点向式}),\qquad \begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \\ z = z_0 + pt \end{cases}\ (\text{参数式})$mx−x0​​=ny−y0​​=pz−z0​​ (点向式),⎩⎨⎧​x=x0​+mty=y0​+ntz=z0​+pt​ (参数式)

点向式里，三个分母就是方向向量的三个坐标，分子里减的是已知点的坐标。过两点 $M_1$M1​、$M_2$M2​ 的直线，方向向量取 $\overrightarrow{M_1M_2}$M1​M2​​。

直线也可以看成两个平面的交线，写成两个平面方程联立的一般式。这时直线的方向向量同时垂直于两个平面的法向量，所以可取

$\boldsymbol{s} = \boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2$s=n1​×n2​

平面与直线的位置关系

平面看法向量 $\boldsymbol{n}$n，直线看方向向量 $\boldsymbol{s}$s，位置关系都转化成向量的关系：

位置关系	向量条件
两直线平行	$\boldsymbol{s}_1\ /\!/\ \boldsymbol{s}_2$s1​ // s2​
两直线垂直	$\boldsymbol{s}_1\cdot\boldsymbol{s}_2 = 0$s1​⋅s2​=0
直线与平面平行（或在平面内）	$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n} = 0$s⋅n=0
直线与平面垂直	$\boldsymbol{s}\ /\!/\ \boldsymbol{n}$s // n

直线与平面平行时，还要看直线上的一点是否在平面内：在平面内，直线就在平面上；不在，就是真正的平行。

常见二次曲面

空间中的一个三元方程通常表示一个曲面。下面几种要认得：

曲面	方程
球面（球心 $(a, b, c)$(a,b,c)，半径 $R$R）	$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2
椭球面	$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} + \dfrac{z^2}{c^2} = 1$a2x2​+b2y2​+c2z2​=1
圆柱面（母线平行于 $z$z 轴）	$x^2 + y^2 = R^2$x2+y2=R2
圆锥面（顶点在原点，轴为 $z$z 轴）	$z^2 = x^2 + y^2$z2=x2+y2
旋转抛物面	$z = x^2 + y^2$z=x2+y2

柱面有一个很好用的规律：方程里缺哪个变量，母线就平行于哪个坐标轴。比如 $x^2 + y^2 = 1$x2+y2=1 缺 $z$z，在空间里是母线平行于 $z$z 轴的圆柱面，不是平面上的圆；$y^2 = 2x$y2=2x 是母线平行于 $z$z 轴的抛物柱面。