对数求导法、高阶导数与微分

本节导读

这一节补齐求导的最后三块：对数求导法，专门对付 $x^x$xx 这类「底数、指数都含 $x$x」的幂指函数，以及一长串因式连乘连除的函数；高阶导数，主要是二阶导数；微分 $dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx，它是下一章「凑微分」积分法的基础。

试卷里，二阶导数的值、微分的表达式常以填空题出现，对数求导法则多出现在解答题里。

对数求导法

遇到下面两类函数，直接求导很麻烦，可以先取对数：

• 幂指函数，即底数和指数都含 $x$x 的函数，如 $x^x$xx、$x^{\sin x}$xsinx、$(\ln x)^x$(lnx)x；
• 由许多因式连乘、连除、乘方、开方构成的函数。

步骤有三步：第一步，两边取自然对数，把乘除变成加减、把指数变成系数；第二步，两边对 $x$x 求导，左边 $(\ln y)' = \dfrac{y'}{y}$(lny)′=yy′​；第三步，解出 $y' = y \cdot (\ldots)$y′=y⋅(…)，再把 $y$y 换回原来的式子。

$y = x^x\ (x \gt 0):\quad \ln y = x\ln x \Longrightarrow \frac{y'}{y} = \ln x + 1 \Longrightarrow y' = x^x(\ln x + 1)$y=xx (x>0):lny=xlnx⟹yy′​=lnx+1⟹y′=xx(lnx+1)

$y = x^{\sin x}:\quad \frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \Longrightarrow y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$y=xsinx:yy′​=cosxlnx+xsinx​⟹y′=xsinx(cosxlnx+xsinx​)

连乘连除的例子：$y = \dfrac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+2)^3}$y=(x+2)3(x+1)2x−1​​，取对数后变成加减：

$\ln y = 2\ln(x+1) + \frac{1}{2}\ln(x-1) - 3\ln(x+2) \Longrightarrow y' = y\left[\frac{2}{x+1} + \frac{1}{2(x-1)} - \frac{3}{x+2}\right]$lny=2ln(x+1)+21​ln(x−1)−3ln(x+2)⟹y′=y[x+12​+2(x−1)1​−x+23​]

幂指函数还有一种等价做法：把 $u^v$uv 写成 $e^{v\ln u}$evlnu，再用复合函数求导，如 $(x^x)' = \left(e^{x\ln x}\right)' = e^{x\ln x}(\ln x + 1)$(xx)′=(exlnx)′=exlnx(lnx+1)。要特别注意：幂指函数既不能用幂函数公式 $(x^n)' = nx^{n-1}$(xn)′=nxn−1，也不能用指数函数公式 $(a^x)' = a^x\ln a$(ax)′=axlna。

高阶导数

导数 $f'(x)$f′(x) 仍然可以再求导，$f'(x)$f′(x) 的导数叫二阶导数，记作 $y''$y′′、$f''(x)$f′′(x) 或 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$dx2d2y​；再求一次是三阶导数 $y'''$y′′′；一般的 $n$n 阶导数记作 $y^{(n)}$y(n)。求法就是一次一次地求导。

例如 $y = x^3 + 2x^2$y=x3+2x2，$y' = 3x^2 + 4x$y′=3x2+4x，$y'' = 6x + 4$y′′=6x+4。再如 $y = e^{2x}$y=e2x，$y' = 2e^{2x}$y′=2e2x，$y'' = 4e^{2x}$y′′=4e2x，一般 $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$y(n)=2ne2x。

几个常用的 $n$n 阶导数公式，了解规律即可：

函数	$n$n 阶导数
$e^x$ex	$e^x$ex
$a^x$ax	$a^x(\ln a)^n$ax(lna)n
$\sin x$sinx	$\sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$sin(x+2nπ​)
$\cos x$cosx	$\cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$cos(x+2nπ​)
$x^m$xm（$m$m 为正整数，$n \leq m$n≤m）	$m(m-1)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}$m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n
$\ln x$lnx	$(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{x^n}$(−1)n−1xn(n−1)!​

正弦、余弦的高阶导数每 $4$4 次循环一圈：$\sin x \to \cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x$sinx→cosx→−sinx→−cosx→sinx。

微分

如果函数 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $x$x 处可导，那么它的微分是

$dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx

其中自变量的微分 $dx$dx 就是自变量的增量 $\Delta x$Δx。一元函数里「可微」与「可导」是同一回事。几何意义：$dy$dy 是切线上纵坐标的增量，当 $\lvert \Delta x \rvert$∣Δx∣ 很小时，函数的增量 $\Delta y \approx dy$Δy≈dy。

求微分只需先求导，再乘 $dx$dx。例如 $y = \sin 2x$y=sin2x，$dy = 2\cos 2x\,dx$dy=2cos2xdx；$y = x^2e^x$y=x2ex，$dy = (2x + x^2)e^x\,dx$dy=(2x+x2)exdx。

下面这些常用的微分，反过来用就是下一章的「凑微分」，要熟悉：

微分	结果
$d(x^2)$d(x2)	$2x\,dx$2xdx
$d(\ln x)$d(lnx)	$\dfrac{1}{x}\,dx$x1​dx
$d(e^x)$d(ex)	$e^x\,dx$exdx
$d(\sin x)$d(sinx)，$d(\cos x)$d(cosx)	$\cos x\,dx$cosxdx，$-\sin x\,dx$−sinxdx
$d(\tan x)$d(tanx)	$\sec^2 x\,dx$sec2xdx
$d(\arctan x)$d(arctanx)	$\dfrac{1}{1 + x^2}\,dx$1+x21​dx

利用 $\Delta y \approx dy$Δy≈dy，可以做近似计算：

$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$f(x0​+Δx)≈f(x0​)+f′(x0​)Δx

例如计算 $\sqrt{4.04}$4.04​：取 $f(x) = \sqrt{x}$f(x)=x​，$x_0 = 4$x0​=4，$\Delta x = 0.04$Δx=0.04，$f'(4) = \dfrac{1}{4}$f′(4)=41​，所以 $\sqrt{4.04} \approx 2 + \dfrac{1}{4} \times 0.04 = 2.01$4.04​≈2+41​×0.04=2.01。

易错提醒

• ❌ 对数求导时，把 $\ln y$lny 对 $x$x 的导数写成 $y'$y′
  ✅ $(\ln y)' = \dfrac{y'}{y}$(lny)′=yy′​
  $y$y 是 $x$x 的函数，要用链式法则，最后别忘了乘回 $y$y。

• ❌ $(x^x)' = x \cdot x^{x-1}$(xx)′=x⋅xx−1
  ✅ $(x^x)' = x^x(\ln x + 1)$(xx)′=xx(lnx+1)
  底数和指数都含 $x$x，不能用幂函数公式。

• ❌ 二阶导数 $y''$y′′ 等于 $(y')^2$(y′)2
  ✅ $y''$y′′ 是对 $y'$y′ 再求一次导数
  $(y')^2$(y′)2 是 $y'$y′ 的平方，两者完全不同。

• ❌ $(\sin x)'' = \sin x$(sinx)′′=sinx
  ✅ $(\sin x)'' = -\sin x$(sinx)′′=−sinx
  正弦求两次导，先变 $\cos x$cosx，再变 $-\sin x$−sinx。

• ❌ $dy = f'(x)$dy=f′(x)，漏掉 $dx$dx
  ✅ $dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx
  微分是一个式子，必须带上 $dx$dx。

• ❌ $d(x^2) = x\,dx$d(x2)=xdx
  ✅ $d(x^2) = 2x\,dx$d(x2)=2xdx
  微分就是导数乘 $dx$dx，$x^2$x2 的导数是 $2x$2x。

例题精讲

例题 1

求 $y = x^{x^2}\ (x \gt 0)$y=xx2 (x>0) 的导数。

解：两边取对数 $\ln y = x^2\ln x$lny=x2lnx，两边对 $x$x 求导：$\dfrac{y'}{y} = 2x\ln x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\ln x + x$yy′​=2xlnx+x2⋅x1​=2xlnx+x。所以

$y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$y′=xx2(2xlnx+x)

答案：$y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$y′=xx2(2xlnx+x)

例题 2

设 $y = e^{-x}\sin x$y=e−xsinx，求 $y''$y′′。

解：先求一阶导数：$y' = -e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$y′=−e−xsinx+e−xcosx=e−x(cosx−sinx)。再求一次：

$y'' = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = -2e^{-x}\cos x$y′′=−e−x(cosx−sinx)+e−x(−sinx−cosx)=−2e−xcosx

答案：$y'' = -2e^{-x}\cos x$y′′=−2e−xcosx

例题 3

设 $y = \ln(1 + e^{x^2})$y=ln(1+ex2)，求 $dy$dy。

解：先求导，外层是 $\ln$ln，内层 $1 + e^{x^2}$1+ex2 的导数是 $e^{x^2}\cdot 2x$ex2⋅2x：

$y' = \frac{2x\,e^{x^2}}{1 + e^{x^2}}$y′=1+ex22xex2​

再乘 $dx$dx，得到微分 $dy = \dfrac{2x\,e^{x^2}}{1 + e^{x^2}}\,dx$dy=1+ex22xex2​dx。

答案：$dy = \dfrac{2x\,e^{x^2}}{1 + e^{x^2}}\,dx$dy=1+ex22xex2​dx

本节小结

• 对数求导法适用于幂指函数和连乘连除的函数：两边取对数，两边求导（左边 $\dfrac{y'}{y}$yy′​），解出 $y'$y′ 并换回 $y$y。
• 高阶导数就是逐次求导；$y''$y′′ 是 $y'$y′ 的导数，不是 $(y')^2$(y′)2。正弦、余弦每求 $4$4 次导数循环一次。
• 微分 $dy = f'(x)\,dx$dy=f′(x)dx，一元函数可导与可微等价；近似公式 $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$f(x0​+Δx)≈f(x0​)+f′(x0​)Δx。
• 常用微分如 $d(x^2) = 2x\,dx$d(x2)=2xdx，$d(\ln x) = \dfrac{dx}{x}$d(lnx)=xdx​，$d(e^x) = e^x\,dx$d(ex)=exdx，是下一章凑微分的基础。