解答题突破：微积分应用题（最值、面积体积与条件极值）

本节导读

应用题的方法分散在主线四节里：本课第 11 节《函数的单调性、极值与最值》（最值应用题的四步）、第 19 节《定积分的应用：面积与旋转体体积》、第 24 节《二元函数的极值与条件极值》（拉格朗日乘数法）和第 26 节《极坐标下的二重积分与交换积分次序》（用二重积分求体积）。第 32 节的书写规范把应用题的写法概括成「设、列、求、答」四步。

四类题各自的算法主线都练过，卡壳的地方在开头：读完题面，定不下把哪个量设为变量，也写不出要求的函数或积分。这一节不讲新公式，只把四类应用题放进同一套步骤，讲清每类题从哪里列式、怎样说明最值、答语写什么。

这一块在试卷里怎么考

按本课第 1 节《考试介绍与备考方法》的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），解答题 7 至 8 题（说法不一）合计 70 分；应用题具体占多少分，各资料说法不一，这里不写死。第 1 节的章节表把「最值应用题」「求面积和旋转体体积」列为常见题型，小题也可能只考其中一步，比如求一个最大值、一块面积或一个体积。

解答题按步骤给分（第 32 节），容易丢分的有五处（第 11、19、24、26 节的步骤与易错提醒，第 32 节易错点复盘）：不写自变量的范围，不说明驻点为什么是最值；面积「上减下」写反；旋转体漏 $\pi$π、先减后平方；拉格朗日方程组漏了约束条件；极坐标漏了面积元素里的 $r$r。

方法归纳

第 11 节给了最值应用题的四步：设变量写出函数和范围、求导找驻点、说明驻点唯一就是最值点、求出最值写答案。把它推广到四类应用题，「列」这一步的入口按下表找：

题目问的	设元与列式	计算	判断与作答	出处
一个变量的最值	选一个未知量作 $x$x，把目标量写成 $x$x 的函数，标出范围；有等式先消元	令导数为 0 求驻点，闭区间连端点一起比	说清驻点为什么是最值；结论带单位	第 11 节
面积与旋转体	先画图，用交点定出积分限，再分清哪条曲线在上（或在右）	算定积分	面积「上减下」；体积带 $\pi$π、先平方再相减	第 19 节
条件极值	分清目标函数 $f$f 与约束 $\varphi=0$φ=0	能消元就代入；消不了用拉格朗日乘数法，未知数连 $\lambda$λ 有几个，方程就列几个	可能的点唯一且最值存在，它就是所求	第 24 节
曲面围成的立体	求两曲面的交线，投影到 $xOy$xOy 面得区域 $D$D	二重积分，被积函数是顶面减底面	圆域换极坐标，别漏 $r$r	第 26 节

体积有两种算法，按立体的样子选：

立体的样子	公式	这里要小心	出处
平面图形绕 $x$x 轴转一周	$V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx$V=π∫ab​[f(x)]2dx	两条曲线之间是外圆减内圆	第 19 节
绕 $y$y 轴转一周	曲线写成 $x=\varphi(y)$x=φ(y)，$V=\pi\int_c^d[\varphi(y)]^2dy$V=π∫cd​[φ(y)]2dy	积分变量和积分限都换成 $y$y 的	第 19 节
上下两个曲面夹出的立体	顶面 $z_2$z2​、底面 $z_1$z1​，$V=\iint_D(z_2-z_1)\,d\sigma$V=∬D​(z2​−z1​)dσ	$D$D 是交线围成的投影区域	第 26 节
底是圆域、式子含 $x^2+y^2$x2+y2	极坐标，面积元素 $r\,dr\,d\theta$rdrdθ	$\theta$θ 的范围看区域	第 26 节

题型拆解

题型 1：一元函数的最值应用

识别特征：要求的是面积最大、费用最省、用料最少这一类量，设一个未知量就能把它写出来；题目里有两个未知量和一个等式时，先用等式消去一个。

分步解法：按第 11 节的四步，例题 1 是完整示范。消元的例子：一张矩形海报，中间印字部分的面积是 128 平方厘米，上下各留 2 厘米、左右各留 1 厘米空白。设印字部分宽 $x$x、高 $y$y，由 $xy=128$xy=128 消去 $y$y，纸的面积 $S=(x+2)\left(\frac{128}{x}+4\right)=136+4x+\frac{256}{x}$S=(x+2)(x128​+4)=136+4x+x256​，$x\gt0$x>0；令 $S'=4-\frac{256}{x^2}=0$S′=4−x2256​=0 得 $x=8$x=8，是唯一驻点，所以纸宽 10 厘米、高 20 厘米时最省纸。

常见陷阱：驻点不止一个，或者是闭区间时，只取第一个解出来的点。要把驻点和端点的函数值一起比较（第 11 节），范围外的驻点舍去。

题型 2：面积与体积

识别特征：题面要的是一块平面图形的面积、它转出来的立体体积，或者几张曲面夹出来的立体体积。

分步解法：平面图形先画草图、求交点。比如 $y=\cos x$y=cosx、$y=\sin x$y=sinx 与 $y$y 轴围成的图形，两曲线交于 $x=\frac{\pi}{4}$x=4π​，在 $[0,\frac{\pi}{4}]$[0,4π​] 上 $\cos x$cosx 在上，面积 $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)\,dx=\sqrt{2}-1$∫04π​​(cosx−sinx)dx=2​−1；绕 $x$x 轴的体积 $\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2x-\sin^2x)\,dx=\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos2x\,dx=\frac{\pi}{2}$π∫04π​​(cos2x−sin2x)dx=π∫04π​​cos2xdx=2π​。曲面围成的立体先求交线、投影出 $D$D，再判断哪个曲面在上（例题 2）。

常见陷阱：两曲线之间的旋转体写成 $\pi\int(f-g)^2dx$π∫(f−g)2dx。上例若先减后平方，得 $\pi\int_0^{\frac{\pi}{4}}(1-\sin2x)\,dx=\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi}{2}$π∫04π​​(1−sin2x)dx=4π2​−2π​，是错的。