曲线的凹凸性、拐点与渐近线

本节导读

上一节用一阶导数 $f'(x)$f′(x) 研究函数的升降，这一节用二阶导数 $f''(x)$f′′(x) 研究曲线的弯曲方向，也就是凹凸性和拐点；再用极限研究曲线在远处、在间断点附近的走向，也就是渐近线。

试卷里，求拐点坐标、判断凹凸区间、写渐近线方程、数渐近线的条数，都是选择题、填空题的常见考法；解答题里常把它们和单调性、极值合在一起，让你概括出函数的整体形态。

曲线的凹凸性与拐点

按国内高等数学教材的通行说法：在某个区间内，如果 $f''(x) \gt 0$f′′(x)>0，曲线是凹的，形状像开口向上的 $\cup$∪；如果 $f''(x) \lt 0$f′′(x)<0，曲线是凸的，形状像开口向下的 $\cap$∩。曲线上凹凸性发生改变的点叫拐点。

注意凹凸性看的是 $f''$f′′，升降看的是 $f'$f′，不要混。求凹凸区间和拐点的步骤是：先写出定义域；求 $f''(x)$f′′(x)，找出 $f''(x) = 0$f′′(x)=0 的点和 $f''(x)$f′′(x) 不存在的点；这些点把定义域分成几个区间，判断每个区间内 $f''$f′′ 的正负；$f''$f′′ 在某点两侧变号，该点就是拐点的横坐标，再代入原函数求出纵坐标。

例如 $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$y=x3−6x2+9x+1：$y'' = 6x - 12 = 6(x - 2)$y′′=6x−12=6(x−2)。$x \lt 2$x<2 时 $y'' \lt 0$y′′<0，曲线是凸的；$x \gt 2$x>2 时 $y'' \gt 0$y′′>0，曲线是凹的；$f''$f′′ 在 $x = 2$x=2 两侧变号，所以拐点是 $(2, f(2)) = (2, 3)$(2,f(2))=(2,3)。

$f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0 只是拐点的必要条件，不是充分条件：$y = x^4$y=x4 在 $x = 0$x=0 处 $y'' = 0$y′′=0，但两侧 $y'' = 12x^2 \geq 0$y′′=12x2≥0 不变号，所以 $(0, 0)$(0,0) 不是拐点。另一方面，二阶导数不存在的点也可能是拐点，比如 $y = \sqrt[3]{x}$y=3x​ 在 $x = 0$x=0 处二阶导数不存在，但两侧凹凸性相反，$(0, 0)$(0,0) 是拐点。

渐近线

渐近线是曲线向远处延伸（或趋近于某条竖线）时无限靠近的直线。

• 水平渐近线：如果 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$limx→+∞​f(x)=A，或 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = A$limx→−∞​f(x)=A，则直线 $y = A$y=A 是曲线的水平渐近线。正负无穷两个方向要分别算，两个方向都可能各有一条。
• 垂直渐近线：如果在某点 $x_0$x0​ 处，$\lim_{x \to x_0^-} f(x)$limx→x0−​​f(x) 或 $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$limx→x0+​​f(x) 为 $\infty$∞，则直线 $x = x_0$x=x0​ 是垂直渐近线。找法是：先找 $f(x)$f(x) 没有定义的点（分母为零、对数的真数为零等），再求这些点处的极限，是无穷大的才算。
• 斜渐近线（了解）：如果 $k = \lim\dfrac{f(x)}{x}$k=limxf(x)​ 与 $b = \lim\left[f(x) - kx\right]$b=lim[f(x)−kx] 都存在，则 $y = kx + b$y=kx+b 是斜渐近线。例如 $y = x + \dfrac{1}{x}$y=x+x1​，$k = 1$k=1，$b = 0$b=0，斜渐近线是 $y = x$y=x。

常见函数的渐近线：

函数	水平渐近线	垂直渐近线
$y = \dfrac{x^2}{x^2 - 1}$y=x2−1x2​	$y = 1$y=1	$x = 1$x=1，$x = -1$x=−1
$y = \dfrac{1}{x}$y=x1​	$y = 0$y=0	$x = 0$x=0
$y = e^{-x}$y=e−x	$y = 0$y=0（$x \to +\infty$x→+∞ 时）	无
$y = \arctan x$y=arctanx	$y = \dfrac{\pi}{2}$y=2π​ 和 $y = -\dfrac{\pi}{2}$y=−2π​	无
$y = \ln x$y=lnx	无	$x = 0$x=0
$y = \dfrac{\sin x}{x}$y=xsinx​	$y = 0$y=0	无（$x \to 0$x→0 时极限为 $1$1）

最后一行说明：分母为零的点不一定产生垂直渐近线，要看极限是否为无穷大。