求导公式与四则运算法则

本节导读

求导是整门课最常用的运算：导数应用、积分的检验、多元函数的偏导数、微分方程，几乎每一章都要用到。这一节分两步走：先把基本初等函数的导数公式背熟，再学会和、差、积、商的求导法则。复合函数的求导留到下一节。

试卷里，求导数、求某点的导数值多以选择题、填空题出现，也是解答题里常见的第一步。公式记不牢，后面的章节都会受影响，这一节值得多花时间。

基本初等函数的导数公式

下面三张表就是全部要背的公式。先看常数、幂函数、指数函数和对数函数：

函数	导数
$C$C（常数）	$0$0
$x^{\alpha}$xα	$\alpha x^{\alpha - 1}$αxα−1
$a^x$ax	$a^x \ln a$axlna
$e^x$ex	$e^x$ex
$\log_a x$loga​x	$\dfrac{1}{x \ln a}$xlna1​
$\ln x$lnx	$\dfrac{1}{x}$x1​

三角函数的导数：

函数	导数
$\sin x$sinx	$\cos x$cosx
$\cos x$cosx	$-\sin x$−sinx
$\tan x$tanx	$\sec^2 x$sec2x
$\cot x$cotx	$-\csc^2 x$−csc2x
$\sec x$secx	$\sec x \tan x$secxtanx
$\csc x$cscx	$-\csc x \cot x$−cscxcotx

反三角函数的导数：

函数	导数
$\arcsin x$arcsinx	$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​1​
$\arccos x$arccosx	$-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$−1−x2​1​
$\arctan x$arctanx	$\dfrac{1}{1 + x^2}$1+x21​
$\operatorname{arccot} x$arccotx	$-\dfrac{1}{1 + x^2}$−1+x21​

三角函数里带「余」字的（$\cos$cos、$\cot$cot、$\csc$csc、$\arccos$arccos、$\operatorname{arccot}$arccot），导数前面都多一个负号，可以用这个规律帮助记忆。

幂函数公式 $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$(xα)′=αxα−1 对任何实数 $\alpha$α 都成立。遇到根式和分式，先化成幂再求导：

$(\sqrt{x})' = \left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}},\qquad \left(\frac{1}{x^2}\right)' = \left(x^{-2}\right)' = -\frac{2}{x^3}$(x​)′=(x21​)′=2x​1​,(x21​)′=(x−2)′=−x32​

导数的四则运算法则

设 $u = u(x)$u=u(x)、$v = v(x)$v=v(x) 都可导，则

$(u \pm v)' = u' \pm v',\qquad (uv)' = u'v + uv',\qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\ (v \neq 0)$(u±v)′=u′±v′,(uv)′=u′v+uv′,(vu​)′=v2u′v−uv′​ (v=0)

特别地，常数可以提出来：$(Cu)' = Cu'$(Cu)′=Cu′。口诀：乘积是「前导后不导，加上前不导后导」；商是「上导下不导，减去上不导下导，再除以下的平方」。商法则里分子的两项顺序不能换，因为是相减。

例如：

$(x^2\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x,\qquad \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$(x2sinx)′=2xsinx+x2cosx,(xlnx​)′=x2x1​⋅x−lnx⋅1​=x21−lnx​

再如 $y = 3x^4 - 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} - 5$y=3x4−2x​+x1​−5，逐项求导：

$y' = 12x^3 - 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} - 0 = 12x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$y′=12x3−2⋅2x​1​−x21​−0=12x3−x​1​−x21​

先化简，再求导

能化简的先化简，比硬套商法则快得多，也不容易错。常用的化简有三种：分子是和的分式，拆成几项；根式、分式化成幂；括号相乘的，先展开。

$y = \frac{x^3 - 2x + 1}{x} = x^2 - 2 + \frac{1}{x} \Longrightarrow y' = 2x - \frac{1}{x^2}$y=xx3−2x+1​=x2−2+x1​⟹y′=2x−x21​

$y = x(x - 1)(x + 2) = x^3 + x^2 - 2x \Longrightarrow y' = 3x^2 + 2x - 2$y=x(x−1)(x+2)=x3+x2−2x⟹y′=3x2+2x−2

易错提醒

• ❌ $(uv)' = u'v'$(uv)′=u′v′
  ✅ $(uv)' = u'v + uv'$(uv)′=u′v+uv′
  乘积的导数不是导数的乘积。

• ❌ $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'}{v'}$(vu​)′=v′u′​
  ✅ $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$(vu​)′=v2u′v−uv′​
  商法则分子有两项，分母是 $v$v 的平方。

• ❌ $(e^x)' = xe^{x-1}$(ex)′=xex−1，$(2^x)' = x \cdot 2^{x-1}$(2x)′=x⋅2x−1
  ✅ $(e^x)' = e^x$(ex)′=ex，$(2^x)' = 2^x \ln 2$(2x)′=2xln2
  幂函数公式只适用于底数是 $x$x、指数是常数的情形，指数函数不能套用。

• ❌ $(\ln 2)' = \dfrac{1}{2}$(ln2)′=21​
  ✅ $(\ln 2)' = 0$(ln2)′=0
  $\ln 2$ln2 是常数，常数的导数是 $0$0。

• ❌ $(\cos x)' = \sin x$(cosx)′=sinx
  ✅ $(\cos x)' = -\sin x$(cosx)′=−sinx
  余弦的导数带负号。

• ❌ $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{\sqrt{x}}$(x​)′=x​1​
  ✅ $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$(x​)′=2x​1​
  $x^{\frac{1}{2}}$x21​ 求导，指数 $\dfrac{1}{2}$21​ 要落下来。

例题精讲

例题 1

求 $y = x^3 e^x$y=x3ex 的导数。

解：用乘积法则，$u = x^3$u=x3，$v = e^x$v=ex：

$y' = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = x^2 e^x (3 + x)$y′=3x2⋅ex+x3⋅ex=x2ex(3+x)

答案：$y' = x^2 e^x (x + 3)$y′=x2ex(x+3)

例题 2

求 $y = \dfrac{x}{1 + x^2}$y=1+x2x​ 的导数。

解：用商法则，$u = x$u=x，$v = 1 + x^2$v=1+x2，$u' = 1$u′=1，$v' = 2x$v′=2x：

$y' = \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$y′=(1+x2)21⋅(1+x2)−x⋅2x​=(1+x2)21−x2​

答案：$y' = \dfrac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$y′=(1+x2)21−x2​

例题 3

已知 $f(x) = x\ln x - x$f(x)=xlnx−x，求 $f'(e)$f′(e)。

解：先求导函数。$x\ln x$xlnx 用乘积法则：$(x\ln x)' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1$(xlnx)′=lnx+x⋅x1​=lnx+1。所以

$f'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$f′(x)=lnx+1−1=lnx

代入 $x = e$x=e 得 $f'(e) = \ln e = 1$f′(e)=lne=1。

答案：$1$1

本节小结

• 基本公式要背熟：幂函数 $(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$(xα)′=αxα−1，指数 $(a^x)' = a^x \ln a$(ax)′=axlna，对数 $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$(loga​x)′=xlna1​，三角和反三角各记一张表。
• 带「余」字的函数（$\cos$cos、$\cot$cot、$\csc$csc、$\arccos$arccos、$\operatorname{arccot}$arccot）导数前有负号。
• 和差：逐项求导；乘积：$u'v + uv'$u′v+uv′；商：$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$v2u′v−uv′​。
• 根式、分式先化成幂；能拆项、能展开的先化简，再求导。
• 常数的导数是 $0$0；指数函数 $a^x$ax 不能用幂函数公式。