多元复合函数与隐函数的偏导数

本节导读

一元函数里的链式法则推广到多元函数，就是这一节的前半部分：函数里的变量本身又是别的变量的函数时，怎样求导。后半部分是隐函数：函数关系是由方程 $F(x, y, z) = 0$F(x,y,z)=0 给出的，不解出来，直接用公式求偏导数。

试卷里，复合函数的偏导数（包括含抽象函数符号 $f_1$f1​、$f_2$f2​ 的写法）和隐函数的偏导数，是选择题、填空题和解答题的高频考点，方法固定，关键是不漏项、不漏符号。

多元复合函数的求导法则

中间变量是一元函数：全导数

设 $z = f(u, v)$z=f(u,v)，而 $u = u(t)$u=u(t)，$v = v(t)$v=v(t) 都是 $t$t 的可导函数，这时 $z$z 最终只是 $t$t 的一元函数，它的导数叫全导数：

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dt}$dtdz​=∂u∂z​⋅dtdu​+∂v∂z​⋅dtdv​

一种常见的特殊情形：$z = f(x, y)$z=f(x,y)，而 $y = y(x)$y=y(x)。这时 $x$x 既是自变量，又直接出现在 $f$f 里，有两条路径：

$\frac{dz}{dx} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}$dxdz​=∂x∂f​+∂y∂f​⋅dxdy​

中间变量是多元函数：偏导数

设 $z = f(u, v)$z=f(u,v)，而 $u = u(x, y)$u=u(x,y)，$v = v(x, y)$v=v(x,y)，则

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$∂x∂z​=∂u∂z​∂x∂u​+∂v∂z​∂x∂v​,∂y∂z​=∂u∂z​∂y∂u​+∂v∂z​∂y∂v​

记忆方法是画「树状图」：从 $z$z 出发，每个中间变量是一个分叉，每条路径上的导数相乘，通向同一个自变量的路径相加，即「沿线相乘，分叉相加」。

例如 $z = u^2v$z=u2v，$u = x + y$u=x+y，$v = xy$v=xy：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2uv\cdot 1 + u^2\cdot y = 2xy(x + y) + y(x + y)^2$∂x∂z​=2uv⋅1+u2⋅y=2xy(x+y)+y(x+y)2

抽象函数的记号

当函数 $f$f 没有给出具体表达式时，用 $f_1$f1​、$f_2$f2​ 分别表示 $f$f 对第一个、第二个位置变量的偏导数。例如 $z = f(x^2 + y^2,\ xy)$z=f(x2+y2, xy)，设 $u = x^2 + y^2$u=x2+y2，$v = xy$v=xy：

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,f_1 + y\,f_2,\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = 2y\,f_1 + x\,f_2$∂x∂z​=2xf1​+yf2​,∂y∂z​=2yf1​+xf2​

这里 $f_1$f1​、$f_2$f2​ 本身仍然是 $u$u、$v$v 的函数，要求二阶偏导数时还要继续用链式法则。

隐函数的偏导数

一个方程确定一元函数

由方程 $F(x, y) = 0$F(x,y)=0 确定的函数 $y = y(x)$y=y(x)，当 $F_y \neq 0$Fy​=0 时

$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$dxdy​=−Fy​Fx​​

例如 $x^3 + y^3 = 3xy$x3+y3=3xy，$F = x^3 + y^3 - 3xy$F=x3+y3−3xy，$F_x = 3x^2 - 3y$Fx​=3x2−3y，$F_y = 3y^2 - 3x$Fy​=3y2−3x，所以 $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x^2 - y}{y^2 - x}$dxdy​=−y2−xx2−y​，与第二章用方程两边同时求导得到的结果一致。

一个方程确定二元函数

由方程 $F(x, y, z) = 0$F(x,y,z)=0 确定的函数 $z = z(x, y)$z=z(x,y)，当 $F_z \neq 0$Fz​=0 时

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$∂x∂z​=−Fz​Fx​​,∂y∂z​=−Fz​Fy​​

用公式时要注意：$F_x$Fx​、$F_y$Fy​、$F_z$Fz​ 是把 $x$x、$y$y、$z$z 三个变量完全平等地看待、各自独立求偏导，此时 $z$z 不再看成 $x$x、$y$y 的函数。例如 $e^z = xyz$ez=xyz，令 $F = e^z - xyz$F=ez−xyz：

$F_x = -yz,\quad F_y = -xz,\quad F_z = e^z - xy\ \Longrightarrow\ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{yz}{e^z - xy},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz}{e^z - xy}$Fx​=−yz,Fy​=−xz,Fz​=ez−xy ⟹ ∂x∂z​=ez−xyyz​,∂y∂z​=ez−xyxz​

也可以不用公式，直接对方程两边求偏导：此时把 $z$z 看成 $x$x、$y$y 的函数，含 $z$z 的项要用链式法则，再从中解出 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$∂x∂z​。两种方法的结果相同，公式法更不容易出错。