定积分的应用：面积与旋转体体积

本节导读

定积分在几何上最常见的两个应用，一是求平面图形的面积，二是求平面图形绕坐标轴旋转一周所得旋转体的体积。这类题是常见的考法，多以解答题形式出现：给出两三条曲线，要求先画图找交点，再列出积分并算出结果。

学完这一节，你应该能够确定积分变量和积分限，写出面积和体积的积分表达式，并正确计算。这两类题的难点往往不在积分本身，而在画图和列式，所以步骤要走完整。

平面图形的面积

对 x 积分（X 型）

由曲线 $y = f(x)$y=f(x)、$y = g(x)$y=g(x) 以及直线 $x = a$x=a、$x = b$x=b 围成的图形，在 $[a, b]$[a,b] 上若 $f(x) \geq g(x)$f(x)≥g(x)，面积是「上面的函数减下面的函数」的积分：

$A = \int_a^b \left[f(x) - g(x)\right]dx$A=∫ab​[f(x)−g(x)]dx

特别地，曲线 $y = f(x)$y=f(x) 与 $x$x 轴（即 $g(x) = 0$g(x)=0）所围图形的面积是 $\int_a^b \lvert f(x)\rvert\,dx$∫ab​∣f(x)∣dx，曲线有一部分在 $x$x 轴下方时，要分段取绝对值。

对 y 积分（Y 型）

由 $x = \varphi(y)$x=φ(y)、$x = \psi(y)$x=ψ(y) 以及 $y = c$y=c、$y = d$y=d 围成的图形，在 $[c, d]$[c,d] 上若 $\varphi(y) \geq \psi(y)$φ(y)≥ψ(y)，面积是「右边的函数减左边的函数」的积分：

$A = \int_c^d \left[\varphi(y) - \psi(y)\right]dy$A=∫cd​[φ(y)−ψ(y)]dy

当图形的上下边界需要分成好几段、而左右边界却只有两条曲线时，改成对 $y$y 积分会简单很多。

求面积的步骤

求面积一般分四步：画出草图，弄清图形的位置；解方程组求出曲线的交点，交点的坐标就是积分限；选好积分变量，使被积函数尽量不分段；写出积分，用牛顿-莱布尼茨公式算出结果。

例如求 $y = x^2$y=x2 与 $y = x$y=x 所围图形的面积：解 $x^2 = x$x2=x 得交点 $x = 0$x=0 和 $x = 1$x=1，在 $[0, 1]$[0,1] 上直线在上、抛物线在下：

$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$A=∫01​(x−x2)dx=21​−31​=61​

再看一个适合对 $y$y 积分的例子：求 $y^2 = x$y2=x 与 $y = x - 2$y=x−2 所围图形的面积。联立得 $y^2 = y + 2$y2=y+2，解得 $y = -1$y=−1 和 $y = 2$y=2。在 $[-1, 2]$[−1,2] 上，直线 $x = y + 2$x=y+2 在右，抛物线 $x = y^2$x=y2 在左：

$A = \int_{-1}^{2}\left[(y + 2) - y^2\right]dy = \left(\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right)\Big|_{-1}^{2} = \frac{9}{2}$A=∫−12​[(y+2)−y2]dy=(2y2​+2y−3y3​)​−12​=29​

如果这里对 $x$x 积分，要以 $x = 1$x=1 为界分成两段，每一段的上边界还不一样，计算量大得多。

旋转体的体积

平面图形绕坐标轴旋转一周，得到的立体叫旋转体。把旋转体切成许多垂直于轴的薄圆片，每个圆片的体积是 $\pi\cdot(\text{半径})^2\cdot(\text{厚度})$π⋅(半径)2⋅(厚度)，加起来就是下面的公式。

绕 $x$x 轴旋转：由 $y = f(x)$y=f(x)、$x = a$x=a、$x = b$x=b 及 $x$x 轴围成的图形，体积为

$V_x = \pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$Vx​=π∫ab​[f(x)]2dx

绕 $y$y 轴旋转：由 $x = \varphi(y)$x=φ(y)、$y = c$y=c、$y = d$y=d 及 $y$y 轴围成的图形，体积为

$V_y = \pi\int_c^d [\varphi(y)]^2\,dy$Vy​=π∫cd​[φ(y)]2dy

由两条曲线 $y = f(x)$y=f(x)、$y = g(x)$y=g(x)（$f(x) \geq g(x) \geq 0$f(x)≥g(x)≥0）与直线 $x = a$x=a、$x = b$x=b 围成的图形绕 $x$x 轴旋转时，旋转体是「大圆片挖去小圆片」，体积是两个体积相减，而不是先减后平方：

$V_x = \pi\int_a^b\left\{[f(x)]^2 - [g(x)]^2\right\}dx$Vx​=π∫ab​{[f(x)]2−[g(x)]2}dx

例如：半圆 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$y=r2−x2​ 绕 $x$x 轴旋转得到半径为 $r$r 的球，体积 $V = \pi\int_{-r}^{r}(r^2 - x^2)\,dx = \dfrac{4}{3}\pi r^3$V=π∫−rr​(r2−x2)dx=34​πr3。又如 $y = x^2$y=x2 与 $y = x$y=x 所围图形绕 $x$x 轴旋转：