函数的单调性、极值与最值

本节导读

导数最重要的用途，就是用 $f'(x)$f′(x) 的符号研究函数本身的形态：哪里升、哪里降，哪里是峰、哪里是谷，在某个范围内最大最小是多少。这一节的方法是固定的「列表法」，掌握套路就能拿分。

试卷里，单调区间、极值点、极值的判断是选择题、填空题的常客；求单调区间加极值是解答题的典型题型；最值应用题（用料最省、面积最大等）常作为解答题的压轴题之一。

函数的单调性

在某个区间内，如果 $f'(x) \gt 0$f′(x)>0，函数在这个区间内单调增加；如果 $f'(x) \lt 0$f′(x)<0，函数单调减少。导数只在个别点为 $0$0，不影响单调性。

求单调区间的步骤：先写出定义域；再求 $f'(x)$f′(x)，找出 $f'(x) = 0$f′(x)=0 的点和 $f'(x)$f′(x) 不存在的点，它们把定义域分成几个区间；然后列表判断每个区间里 $f'(x)$f′(x) 的正负；最后写出结论。

例如 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$f(x)=x3−3x2−9x+5：$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，分界点是 $-1$−1 和 $3$3。

$x$x	$(-\infty, -1)$(−∞,−1)	$-1$−1	$(-1, 3)$(−1,3)	$3$3	$(3, +\infty)$(3,+∞)
$f'(x)$f′(x)	$+$+	$0$0	$-$−	$0$0	$+$+
$f(x)$f(x)	增	极大值	减	极小值	增

所以增区间是 $(-\infty, -1)$(−∞,−1) 和 $(3, +\infty)$(3,+∞)，减区间是 $(-1, 3)$(−1,3)。极大值 $f(-1) = 10$f(−1)=10，极小值 $f(3) = -22$f(3)=−22。

函数的极值

如果在 $x_0$x0​ 的附近，$f(x_0)$f(x0​) 比周围所有点的函数值都大（小），就称 $f(x_0)$f(x0​) 是极大值（极小值），$x_0$x0​ 是极值点。极值是局部概念，只和附近的点比。

必要条件：可导函数的极值点一定是驻点，即 $f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0。反过来不成立，比如 $f(x) = x^3$f(x)=x3 在 $x = 0$x=0 处 $f'(0) = 0$f′(0)=0，却不是极值点。另外，导数不存在的点也可能是极值点，比如 $\lvert x \rvert$∣x∣ 在 $x = 0$x=0 处。

判断驻点（或不可导点）$x_0$x0​ 是不是极值点，有两个充分条件：

方法	条件	结论
第一充分条件	$x_0$x0​ 两侧 $f'$f′ 左正右负	极大值
第一充分条件	$x_0$x0​ 两侧 $f'$f′ 左负右正	极小值
第一充分条件	$x_0$x0​ 两侧 $f'$f′ 同号	不是极值点
第二充分条件	$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0，$f''(x_0) \lt 0$f′′(x0​)<0	极大值
第二充分条件	$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0，$f''(x_0) \gt 0$f′′(x0​)>0	极小值

第二充分条件用起来很省事，例如 $f(x) = xe^{-x}$f(x)=xe−x：$f'(x) = e^{-x}(1 - x)$f′(x)=e−x(1−x)，驻点 $x = 1$x=1；$f''(x) = e^{-x}(x - 2)$f′′(x)=e−x(x−2)，$f''(1) = -e^{-1} \lt 0$f′′(1)=−e−1<0，所以 $f(1) = \dfrac{1}{e}$f(1)=e1​ 是极大值。但它在 $f''(x_0) = 0$f′′(x0​)=0 时失效，这时改用第一充分条件。

最大值与最小值

闭区间 $[a, b]$[a,b] 上的连续函数一定有最大值和最小值。求法是：把区间内的驻点、导数不存在的点的函数值，和两个端点的函数值放在一起比大小，最大的是最大值，最小的是最小值。

例如求 $f(x) = x^3 - 3x + 1$f(x)=x3−3x+1 在 $[-2, 3]$[−2,3] 上的最值：$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$f′(x)=3x2−3=0 得 $x = \pm 1$x=±1。比较 $f(-2) = -1$f(−2)=−1，$f(-1) = 3$f(−1)=3，$f(1) = -1$f(1)=−1，$f(3) = 19$f(3)=19，所以最大值是 $19$19，最小值是 $-1$−1。

如果是开区间，或者是实际问题，函数在区间内只有一个驻点，并且是极大（小）值点，那么它就是最大（小）值点，不用再比较端点。

最值应用题

实际问题的步骤是：第一步，设变量，写出要求最值的量的函数式（目标函数），并写出自变量的取值范围；第二步，求导，找驻点；第三步，说明驻点唯一并且符合实际，就是最值点；第四步，求出最值，写出答案。