选择题与填空题快解：特殊值、几何意义与对称性

本节导读

选择题和填空题只看结果，不看过程，有些题不必从头算到底。这一节把五种快解写成作答模板：特殊值与排除、用几何意义算定积分、对称区间上的奇偶性、导数定义的变形、结果化到最简。它们分别来自第 6 节《导数的概念与几何意义》、第 16 节《定积分的概念与性质》、第 18 节《定积分的换元法、分部积分法与反常积分》和第 27 节《常数项级数的概念与性质》，填空的化简要求见第 1 节《考试介绍与备考方法》。每种快解都标了「不能用的时候」。

时间怎么分

按第 1 节的参考口径（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准），选择题、填空题各 10 道，每道 4 分，合计 80 分，占全卷 150 分的一半多；建议两种小题共用约 40 分钟，平均每题 2 分钟，一道题卡住两三分钟就做记号跳过（第 32 节）。快解的用处是让能套模板的题明显快于这个平均数：哪怕 10 道题各快 1 分钟，也能省下 10 分钟，留给卡住的题和最后约 20 分钟的检查。每种快解开头的「适用」一行，写的就是看到什么特征时用它。

各题型作答模板

一、特殊值与排除法

适用：题干给的是一类函数或一般的参数，结论对所有满足条件的情形都成立，四个选项都是一般的式子；级数敛散的选择题也能这样排除（第 27 节）。

步骤：

1. 取满足全部条件、又最好算的特殊值：函数取常数、$x$x、$x^2$x2，参数取 1、$e$e 或让两个参数相等。
2. 用它把题干算出具体结果，四个选项也各算一遍来对照。
3. 只剩一个就选它；剩两个以上，换一个特殊值再比。

一句话：「取 ___，题干得 ___，排除 ___，剩下 ___。」

示范：$\lim_{x\to0}\frac{a^x-b^x}{x}$limx→0​xax−bx​（$a\gt0$a>0，$b\gt0$b>0）等于 A. $a-b$a−b　B. $\ln(a-b)$ln(a−b)　C. $\ln\frac{a}{b}$lnba​　D. $\frac{a}{b}$ba​。先取 $a=b$a=b，极限是 0，B 没有意义、D 得 1，排除；再取 $a=e$a=e，$b=1$b=1，极限是 $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$limx→0​xex−1​=1，A 得 $e-1$e−1，C 得 1，选 C。

不能用的时候：题目要的是具体数值；取的特殊值不满足题干的全部条件（比如题干要求 $f''(x)\gt0$f′′(x)>0，却取了一次函数）。特殊值只能排除选项，不能当成证明写进解答题。

二、用几何意义算定积分

适用：被积函数的图形是直线段、折线或圆的一部分（根号里能配成 $r^2-(x-a)^2$r2−(x−a)2），直接求原函数要分段或三角代换。

步骤：

1. 画出被积函数在积分区间上的图形。
2. 拆成三角形、矩形、扇形这些有面积公式的块。
3. $x$x 轴上方的记正、下方的记负，再相加（第 16 节）。

一句话：「图形由 ___ 组成，上方 ___、下方 ___，积分等于 ___。」

示范：求 $\int_{-1}^{1}\sqrt{4-x^2}\,dx$∫−11​4−x2​dx，被积函数的图形是半径 2 的上半圆的一段，$x=\pm1$x=±1 处 $y=\sqrt{3}$y=3​。从原点连到 $(\pm1,\sqrt{3})$(±1,3​)，区域拆成两个直角边为 1 和 $\sqrt{3}$3​ 的直角三角形和一个圆心角 $\frac{\pi}{3}$3π​ 的扇形，积分 $=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12\times4\times\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{2\pi}{3}$=2×23​​+21​×4×3π​=3​+32π​。

不能用的时候：图形是抛物线、指数曲线这类没有面积公式的曲线，或者根号里配不成圆的方程。题目问的若是「围成的面积」，下方部分要取正，和积分不是一回事。

三、对称区间上的奇偶性

适用：积分区间关于原点对称，被积函数是几项相加，或者乘开后是几项相加。

步骤（第 18 节）：

1. 核对上下限是否互为相反数。
2. 拆项后逐项判奇偶：奇函数的积分为 0，偶函数的积分写成 $2\int_0^a$2∫0a​。
3. 剩下的项照常积分，能用几何意义就接快解二。

一句话：「区间对称，___ 是奇函数、积分为 0，___ 是偶函数、化成 2 倍的 ___，结果 ___。」

示范：$\int_{-1}^{1}(1+x^2)(1+\arctan x)\,dx$∫−11​(1+x2)(1+arctanx)dx。乘开：$(1+x^2)\arctan x$(1+x2)arctanx 是偶函数乘奇函数，是奇函数，积分为 0；剩下 $\int_{-1}^{1}(1+x^2)\,dx=2\int_0^1(1+x^2)\,dx=\frac{8}{3}$∫−11​(1+x2)dx=2∫01​(1+x2)dx=38​。

不能用的时候：上下限不互为相反数，就不能整段套用，先切出对称的一截（例题 2）；被积函数整体不奇不偶、又拆不开时也不能用。

四、导数定义的变形

适用：题目只给了 $f(x)$f(x) 在某一点的导数（或说它在这一点可导），要求一个分子是函数值之差的极限。

步骤（第 6 节）：

1. 把分子改写成「$f$f 在 $x_0$x0​ 处的增量」，需要时加一项、减一项拆成两个。
2. 把分母凑成同一个增量，多出来的因子提到极限外面或单独求极限。
3. 用已知的 $f'(x_0)$f′(x0​) 代入。

一句话：「分子是 $f$f 在 ___ 处的增量，分母凑成同一个增量，极限是 ___ 倍的 $f'(x_0)$f′(x0​)。」

示范：已知 $f'(1)=2$f′(1)=2，求 $\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x^2-1}$limx→1​x2−1f(x)−f(1)​。$x^2-1=(x-1)(x+1)$x2−1=(x−1)(x+1)，原式 $=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot\frac{1}{x+1}=2\times\frac12=1$=limx→1​x−1f(x)−f(1)​⋅x+11​=2×21​=1。

不能用的时候：不知道 $f(x)$f(x) 在这一点可导时，不能由这类极限反推出导数存在（例题 1）；分子不是同一个函数在同一点附近的差时，也套不上。