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成人高考专升本高等数学（一）考前辅导第八章 二重积分第 26 节 / 共 32 节约 30 分钟报名学员看全文

极坐标下的二重积分与交换积分次序

讲清用极坐标计算二重积分的公式（面积元素是 r dr dθ）、圆域圆环等常见区域的积分限，以及已知累次积分时画图交换积分次序和用二重积分求体积。

本节考点：极坐标下的二重积分交换积分次序二重积分的几何应用

本节导读

上一节在直角坐标下算二重积分，遇到圆域、圆环、扇形，或者被积函数含有 x2+y2x^2 + y^2x2+y2 的时候，直角坐标的积分限会很麻烦，换成极坐标就简单多了。这一节先学极坐标下的计算，再学一种常见的题型：已知一个累次积分，画出积分区域，交换积分的先后次序。最后用二重积分求立体的体积。

试卷里，极坐标计算和交换积分次序是二重积分里常见的两类题，选择题、填空题和解答题都可能出现。

极坐标下的二重积分

直角坐标与极坐标的关系是 x=rcos⁡θx = r\cos\thetax=rcosθ，y=rsin⁡θy = r\sin\thetay=rsinθ，x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2x2+y2=r2。面积元素在极坐标下变成了 r dr dθr\,dr\,d\thetardrdθ：

∬Df(x,y) dσ=∬Df(rcos⁡θ, rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta∬D​f(x,y)dσ=∬D​f(rcosθ, rsinθ)rdrdθ

这里最容易漏的是面积元素中的 rrr，它是由极坐标的小扇形面积决定的，不能省略。化成累次积分时，通常先对 rrr 积分、后对 θ\thetaθ 积分：区域 DDD 是 α≤θ≤β\alpha \leq \theta \leq \betaα≤θ≤β，r1(θ)≤r≤r2(θ)r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)r1​(θ)≤r≤r2​(θ) 时

∫αβdθ∫r1(θ)r2(θ)f(rcos⁡θ, rsin⁡θ) r dr\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta,\ r\sin\theta)\,r\,dr∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ, rsinθ)rdr

确定积分限的办法是「从原点出发画射线」：射线进入区域时碰到的曲线是 rrr 的下限，离开区域时碰到的曲线是 rrr 的上限；转动射线扫过区域的角度范围就是 θ\thetaθ 的范围。常见区域的极坐标限如下：

区域θ\thetaθ 的范围rrr 的范围
圆域 x2+y2≤a2x^2 + y^2 \leq a^2x2+y2≤a20≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi0≤θ≤2π0≤r≤a0 \leq r \leq a0≤r≤a
圆环 a2≤x2+y2≤b2a^2 \leq x^2 + y^2 \leq b^2a2≤x2+y2≤b20≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi0≤θ≤2πa≤r≤ba \leq r \leq ba≤r≤b
上半圆域（y≥0y \geq 0y≥0）0≤θ≤π0 \leq \theta \leq \pi0≤θ≤π0≤r≤a0 \leq r \leq a0≤r≤a
圆域在第一象限的部分0≤θ≤π20 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}0≤θ≤2π​0≤r≤a0 \leq r \leq a0≤r≤a
圆域 x2+y2≤2axx^2 + y^2 \leq 2axx2+y2≤2ax（圆心 (a,0)(a, 0)(a,0)）−π2≤θ≤π2-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}−2π​≤θ≤2π​0≤r≤2acos⁡θ0 \leq r \leq 2a\cos\theta0≤r≤2acosθ

下面是三个典型的计算：

∬x2+y2≤1ex2+y2 dσ=∫02πdθ∫01er2r dr=2π⋅e−12=π(e−1)\iint_{x^2+y^2\leq 1}e^{x^2+y^2}\,d\sigma = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 e^{r^2}r\,dr = 2\pi\cdot\frac{e - 1}{2} = \pi(e - 1)∬x2+y2≤1​ex2+y2dσ=∫02π​dθ∫01​er2rdr=2π⋅2e−1​=π(e−1)

∬1≤x2+y2≤4x2+y2 dσ=∫02πdθ∫12r⋅r dr=2π⋅73=14π3\iint_{1\leq x^2+y^2\leq 4}\sqrt{x^2+y^2}\,d\sigma = \int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2 r\cdot r\,dr = 2\pi\cdot\frac{7}{3} = \frac{14\pi}{3}∬1≤x2+y2≤4​x2+y2​dσ=∫02π​dθ∫12​r⋅rdr=2π⋅37​=314π​

当被积函数只与 rrr 有关、区域又是圆域或圆环时，θ\thetaθ 的积分直接得到 2π2\pi2π，计算就特别简单。

交换积分次序

题目给出一个累次积分，要求改变积分的先后次序。方法的核心只有一条：先根据已有的积分限写出区域 DDD 的不等式，画出 DDD，再从另一个方向重新读出积分限。

步骤是：由原来的限写出 DDD，例如 0≤x≤10 \leq x \leq 10≤x≤1，x2≤y≤xx^2 \leq y \leq \sqrt{x}x2≤y≤x​；画出区域，标出边界曲线；确定新的外层变量的常数范围，再对固定的外层变量，找出内层变量的入口曲线和出口曲线（边界曲线需要改写成新的内层变量的表达式）。

例如 ∫01dx∫x2xf(x,y) dy\int_0^1 dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(x, y)\,dy∫01​dx∫x2x​​f(x,y)dy，区域是曲线 y=x2y = x^2y=x2 与 y=xy = \sqrt{x}y=x​ 围成的部分，交点是 (0,0)(0, 0)(0,0) 和 (1,1)(1, 1)(1,1)。对 yyy 取 000 到 111，固定 yyy 时 xxx 从曲线 x=y2x = y^2x=y2 到 x=yx = \sqrt{y}x=y​：

∫01dx∫x2xf(x,y) dy=∫01dy∫y2yf(x,y) dx\int_0^1 dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}} f(x, y)\,dy = \int_0^1 dy\int_{y^2}^{\sqrt{y}} f(x, y)\,dx∫01​dx∫x2x​​f(x,y)dy=∫01​dy∫y2y​​f(x,y)dx

交换次序最常用来解决「积不出」的问题。例如 ∫01dx∫x1ey2 dy\int_0^1 dx\int_x^1 e^{y^2}\,dy∫01​dx∫x1​ey2dy，ey2e^{y^2}ey2 对 yyy 没有初等原函数。区域是 0≤x≤y≤10 \leq x \leq y \leq 10≤x≤y≤1，交换后先对 xxx 积分：

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本节内容由 AI 辅助编写，配图由 AI 生成，仅供备考参考；考试要求以《全国各类成人高等学校招生考试大纲（2024 年版）》及浙江省教育考试院当年公布为准。

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