二重积分的概念与直角坐标计算

本节导读

定积分是对一段区间求和，二重积分是对一块平面区域求和。它的思想和定积分完全一样：分割、近似、求和、取极限。计算时的关键是把二重积分化成两次定积分，也就是累次积分，所以前面定积分、不定积分的功夫在这里都要用上。

试卷里，二重积分是解答题的常见题型，一般给出一个由直线、曲线围成的区域，要求先画出区域，写出累次积分，再算出结果；选择题、填空题常考性质和对称性，以及累次积分的上下限怎么写。

二重积分的概念

先看一个几何问题：以平面区域 $D$D 为底、以曲面 $z = f(x, y)\ (\geq 0)$z=f(x,y) (≥0) 为顶的立体，叫曲顶柱体。求它的体积的办法是：把 $D$D 分成许多小块 $\Delta\sigma_i$Δσi​，每个小块上取一点 $(\xi_i, \eta_i)$(ξi​,ηi​)，用高为 $f(\xi_i, \eta_i)$f(ξi​,ηi​) 的小平顶柱体近似，加起来再取极限：

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\,\Delta\sigma_i$∬D​f(x,y)dσ=limλ→0​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​

这个极限就是二重积分，$D$D 叫积分区域，$d\sigma$dσ 叫面积元素，在直角坐标系下 $d\sigma = dx\,dy$dσ=dxdy。几何意义是：当 $f(x, y) \geq 0$f(x,y)≥0 时，二重积分等于曲顶柱体的体积。特别地，当 $f(x, y) \equiv 1$f(x,y)≡1 时，$\iint_D d\sigma$∬D​dσ 在数值上等于区域 $D$D 的面积 $\sigma$σ。

二重积分的性质

二重积分的性质与定积分是平行的，设 $f$f、$g$g 在 $D$D 上可积：

1. 线性性质：$\iint_D [k_1f \pm k_2g]\,d\sigma = k_1\iint_D f\,d\sigma \pm k_2\iint_D g\,d\sigma$∬D​[k1​f±k2​g]dσ=k1​∬D​fdσ±k2​∬D​gdσ。
2. 区域可加性：$D$D 被分成 $D_1$D1​、$D_2$D2​ 两块，则 $\iint_D f\,d\sigma = \iint_{D_1} f\,d\sigma + \iint_{D_2} f\,d\sigma$∬D​fdσ=∬D1​​fdσ+∬D2​​fdσ。
3. $\iint_D 1\,d\sigma = \sigma$∬D​1dσ=σ（$\sigma$σ 为 $D$D 的面积），因此 $\iint_D c\,d\sigma = c\sigma$∬D​cdσ=cσ。
4. 比较与估值：若 $D$D 上 $f \leq g$f≤g，则 $\iint_D f\,d\sigma \leq \iint_D g\,d\sigma$∬D​fdσ≤∬D​gdσ；若 $m \leq f \leq M$m≤f≤M，则 $m\sigma \leq \iint_D f\,d\sigma \leq M\sigma$mσ≤∬D​fdσ≤Mσ。
5. 对称性：若 $D$D 关于 $y$y 轴对称，当 $f(x, y)$f(x,y) 关于 $x$x 是奇函数（$f(-x, y) = -f(x, y)$f(−x,y)=−f(x,y)）时积分为 $0$0；当 $f$f 关于 $x$x 是偶函数时，积分等于右半个区域上积分的 $2$2 倍。关于 $x$x 轴对称的情形同理，把 $x$x 与 $y$y 的角色对调。

例如 $D$D 是圆域 $x^2 + y^2 \leq 1$x2+y2≤1，则 $\iint_D x\,d\sigma = 0$∬D​xdσ=0（区域关于 $y$y 轴对称，$x$x 是奇函数），$\iint_D 3\,d\sigma = 3\pi$∬D​3dσ=3π。

直角坐标系下的计算

二重积分的计算，就是把它化成先后两次定积分，叫累次积分。方法由区域的形状决定。

X 型区域：$D = \{(x, y)\ \mid\ a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$D={(x,y) ∣ a≤x≤b, φ1​(x)≤y≤φ2​(x)}，即用平行于 $y$y 轴的直线穿过区域，入口和出口分别在两条曲线上。这时先对 $y$y 积分，再对 $x$x 积分：

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy$∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy

Y 型区域：$D = \{(x, y)\ \mid\ c \leq y \leq d,\ \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)\}$D={(x,y) ∣ c≤y≤d, ψ1​(y)≤x≤ψ2​(y)}，用平行于 $x$x 轴的直线穿过区域，先对 $x$x 积分，再对 $y$y 积分：

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x, y)\,dx$∬D​f(x,y)dσ=∫cd​dy∫ψ1​(y)ψ2​(y)​f(x,y)dx

计算内层积分时，外层变量当作常数；内层积分的结果是外层变量的函数，再对外层变量积分。所以内层的积分限可以含外层变量，外层的积分限一定是常数。如果 $D$D 是矩形 $[a, b]\times[c, d]$[a,b]×[c,d]，两种次序都可以；而且当 $f(x, y) = g(x)h(y)$f(x,y)=g(x)h(y) 时，二重积分等于两个定积分的乘积。