定积分的换元法、分部积分法与反常积分

本节导读

上一节有了牛顿-莱布尼茨公式，计算定积分的关键就是求原函数。求原函数用到的换元积分法、分部积分法，在定积分里仍然适用，只是要注意几处细节：换元要换限，分部积分的第一项要代上下限。此外，奇偶函数在对称区间上的积分有简便算法，积分区间延伸到无穷远时就成了反常积分。

试卷里，定积分的换元与分部积分是解答题的常客；奇偶性简化计算常出现在选择题、填空题；无穷区间的反常积分一般考计算和判断是否收敛。

定积分的换元法

设 $f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上连续，令 $x = \varphi(t)$x=φ(t)，当 $t$t 从 $\alpha$α 变到 $\beta$β 时，$x$x 从 $a$a 变到 $b$b（即 $\varphi(\alpha) = a$φ(α)=a，$\varphi(\beta) = b$φ(β)=b），并且 $\varphi'(t)$φ′(t) 连续，则

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$∫ab​f(x)dx=∫αβ​f(φ(t))φ′(t)dt

和不定积分比，定积分的换元有两个特点：换元的同时必须把积分限换成新变量的取值，上限对上限、下限对下限；积分算完以后，直接代入新的上下限，不需要回代成 $x$x。

例如 $\int_0^3\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$∫03​x+1​x​dx，令 $t = \sqrt{x+1}$t=x+1​，则 $x = t^2 - 1$x=t2−1，$dx = 2t\,dt$dx=2tdt。$x = 0$x=0 时 $t = 1$t=1，$x = 3$x=3 时 $t = 2$t=2：

$\int_1^2\frac{t^2 - 1}{t}\cdot 2t\,dt = 2\int_1^2 (t^2 - 1)\,dt = 2\left(\frac{t^3}{3} - t\right)\Big|_1^2 = \frac{8}{3}$∫12​tt2−1​⋅2tdt=2∫12​(t2−1)dt=2(3t3​−t)​12​=38​

如果用凑微分法而没有引入新的变量，积分限就不变。例如 $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\cos^2 x\,dx = -\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 x\,d(\cos x) = -\dfrac{\cos^3 x}{3}\Big|_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{3}$∫02π​​sinxcos2xdx=−∫02π​​cos2xd(cosx)=−3cos3x​​02π​​=31​。

定积分的分部积分法

分部积分公式的定积分形式，只是在每一项上加上限：

$\int_a^b u\,dv = uv\Big|_a^b - \int_a^b v\,du$∫ab​udv=uv​ab​−∫ab​vdu

注意 $uv$uv 这一项要代入上下限再相减。

$\int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1$∫01​xexdx=xex​01​−∫01​exdx=e−(e−1)=1

$\int_1^e \ln x\,dx = x\ln x\Big|_1^e - \int_1^e dx = e - (e - 1) = 1$∫1e​lnxdx=xlnx​1e​−∫1e​dx=e−(e−1)=1

对称区间上的积分

设 $f(x)$f(x) 在对称区间 $[-a, a]$[−a,a] 上连续，利用函数的奇偶性可以简化计算：

$\int_{-a}^{a}f(x)\,dx = \begin{cases} 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx, & f(x)\text{ 为偶函数} \\ 0, & f(x)\text{ 为奇函数} \end{cases}$∫−aa​f(x)dx=⎩⎨⎧​2∫0a​f(x)dx,0,​f(x) 为偶函数f(x) 为奇函数​

几何上很直观：偶函数的图像关于 $y$y 轴对称，左右两块面积相等；奇函数的图像关于原点对称，左右两块面积一正一负，正好抵消。

例如 $\int_{-1}^{1}x^3\cos x\,dx = 0$∫−11​x3cosxdx=0，因为 $x^3\cos x$x3cosx 是奇函数；$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2 + \sin x)\,dx$∫−2π​2π​​(x2+sinx)dx 中，$\sin x$sinx 是奇函数，积分为 $0$0，$x^2$x2 是偶函数：

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2 + \sin x)\,dx = 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3 = \frac{\pi^3}{12}$∫−2π​2π​​(x2+sinx)dx=2∫02π​​x2dx=2⋅31​(2π​)3=12π3​

被积函数既不是奇函数也不是偶函数时，先拆成奇函数部分和偶函数部分，分别处理。

无穷区间的反常积分

积分区间延伸到无穷远时，定义为定积分的极限：

$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty}\int_a^b f(x)\,dx,\qquad \int_{-\infty}^{b}f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty}\int_a^b f(x)\,dx$∫a+∞​f(x)dx=limb→+∞​∫ab​f(x)dx,∫−∞b​f(x)dx=lima→−∞​∫ab​f(x)dx

极限存在就说反常积分收敛，并且极限值就是积分值；极限不存在就说发散。$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx$∫−∞+∞​f(x)dx 要拆成 $\int_{-\infty}^{c}f(x)\,dx + \int_c^{+\infty}f(x)\,dx$∫−∞c​f(x)dx+∫c+∞​f(x)dx，两部分都收敛才算收敛。

做题时可以先求原函数 $F(x)$F(x)，再记 $F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty}F(x)$F(+∞)=limx→+∞​F(x)：

$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x}\Big|_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1,\qquad \int_0^{+\infty}e^{-x}\,dx = -e^{-x}\Big|_0^{+\infty} = 1$∫1+∞​x2dx​=−x1​​1+∞​=0−(−1)=1,∫0+∞​e−xdx=−e−x​0+∞​=1