综合模拟练习与讲评

本节导读

这是加餐里的综合模拟：把本课试卷的选择题、填空题、解答题各缩编几道，凑成一套能在一小时内做完的卷子。本节题目为原创模拟题，用来熟悉题型，不是历年试卷的原文。题目铺开在十章里：极限、导数、积分之外，空间解析几何、多元函数、二重积分、级数和微分方程也各有题。

用法：讲评先别看。照「题型配比说明」里的建议用时掐表，先做完本节末尾练习里的 8 道选择题，再在纸上写出正文的 4 道填空和 3 道解答；交卷后拿讲评给自己打分，最后把用时和第 1 节《考试介绍与备考方法》的时间表对一对，看哪些课节要回头补。

题型配比说明

第 1 节给的参考结构（以当年大纲和浙江省教育考试院的公告为准）：满分 150 分，考试 150 分钟；选择题、填空题各 10 道，每道 4 分，解答题 7 至 8 题（说法不一），共 70 分。这一套按下表缩编：

部分	本节题量与位置	建议用时	考到的章节
选择题	8 道，在本节末尾的练习	约 16 分钟	极限、导数、不定积分、空间解析几何、多元函数、二重积分，另有解答评价、时间安排各一道
填空题	4 道，在下面的「非选择题示范」	约 8 分钟	连续、隐函数求导、级数求和、二阶微分方程
解答题	3 道，同上	约 36 分钟	极限、定积分、二元函数的极值

建议用时按第 1 节的时间表折算：选择题和填空题平均每题约 2 分钟，解答题平均每题 11 至 13 分钟，本节合计约 60 分钟。整卷还要留约 20 分钟检查，这套题可以在批改前自己先查一遍。题目都没标分值；批改解答题时按步骤给分，写对的步骤就算分。

选择题讲评要点

8 道选择题的解析都写了「见第 N 节」，做错就回那一节。下面按类别讲这套题在哪里设陷阱、怎么破，答案以练习里的解析为准。

类别	陷阱在哪	怎么破	回看
极限	幂指型 $1^{\infty}$1∞ 只盯住底数，指数里的系数没配进去	底数写成 $1+u$1+u，把指数凑成 $\frac{1}{u}$u1​ 乘一个因子；或者取对数	第 4、10 节
导数	复合函数漏乘内层导数，反三角函数的公式记混	一层一层写出中间变量，每层乘一次导数	第 7、8 节
不定积分	分母是没有实根的二次式，却当成凑微分	先配方，再套反正切公式，系数别漏	第 13、14 节
空间解析几何	夹角公式只除了一个模，数量积的正负号算错	夹角看法向量；余弦的绝对值不超过 1	第 20、21 节
多元函数	根式求偏导漏了内层或系数 $\frac12$21​	对哪个变量求偏导就只看它，其余当常数	第 22 节
二重积分	交换次序时把内层的限照搬到外层	先画区域，边界由两段曲线组成就分块	第 26 节
解答评价、时间安排	只看结论对不对，不看写法和步骤	对照第 32 节的书写规范和时间安排逐条核	第 1、32 节

交卷前若还有几十秒，挑几道验一验：求原函数的题，把选项求导，看能否还原成被积函数（第 13 节）；交换积分次序的题，令被积函数为 1，两种次序算出的都该是同一块区域的面积；余弦这类有范围的量，超出范围的选项直接划掉。

非选择题示范

一、填空题

1. 设 $f(x)=\dfrac{\sin2x+e^{ax}-1}{x}$f(x)=xsin2x+eax−1​（$x\neq0$x=0），$f(0)=3$f(0)=3，且 $f(x)$f(x) 在 $x=0$x=0 处连续，则 $a=$a= ______。
2. 曲线 $x^3+y^3-xy=1$x3+y3−xy=1 在点 $(1,1)$(1,1) 处的切线方程是 ______。
3. $\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!\,2^n}=$∑n=0∞​n!2n(−1)n​= ______。
4. 微分方程 $y''+4y'+3y=0$y′′+4y′+3y=0 满足 $y(0)=2$y(0)=2，$y'(0)=-4$y′(0)=−4 的特解是 $y=$y= ______。

参考答案（填空题只看结果，要化到最简，见第 1 节）：

1. $1$1。$x\to0$x→0 时 $\frac{\sin2x}{x}\to2$xsin2x​→2，$\frac{e^{ax}-1}{x}\to a$xeax−1​→a（等价无穷小，第 4 节），连续要求 $2+a=f(0)=3$2+a=f(0)=3（第 5 节）。
2. $x+y-2=0$x+y−2=0。两边对 $x$x 求导：$3x^2+3y^2y'-y-xy'=0$3x2+3y2y′−y−xy′=0，代入 $(1,1)$(1,1) 得 $y'=-1$y′=−1（第 8 节），切线 $y-1=-(x-1)$y−1=−(x−1)（第 6 节）。
3. $\dfrac{1}{\sqrt{e}}$e​1​。由 $e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ex=∑n=0∞​n!xn​ 取 $x=-\frac12$x=−21​（第 29 节），写成 $e^{-\frac12}$e−21​ 也可以。
4. $e^{-x}+e^{-3x}$e−x+e−3x。特征根 $-1$−1、$-3$−3，通解 $C_1e^{-x}+C_2e^{-3x}$C1​e−x+C2​e−3x（第 31 节），由两个初始条件得 $C_1=C_2=1$C1​=C2​=1。

二、解答一：极限

求 $\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x^2}-\cos x}{x\ln(1+x)}$limx→0​xln(1+x)ex2−cosx​。

参考答案：

• 判型：$x\to0$x→0 时分子趋于 $1-1=0$1−1=0，分母趋于 0，是 $\frac{0}{0}$00​ 型。
• 分母是两个因子相乘，用 $\ln(1+x)\sim x$ln(1+x)∼x（第 4 节），原式 $=\lim_{x\to0}\frac{e^{x^2}-\cos x}{x^2}$=limx→0​x2ex2−cosx​，仍是 $\frac{0}{0}$00​ 型。
• 用洛必达法则（第 10 节）：原式 $=\lim_{x\to0}\frac{2xe^{x^2}+\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\left(e^{x^2}+\frac{\sin x}{2x}\right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$=limx→0​2x2xex2+sinx​=limx→0​(ex2+2xsinx​)=1+21​=23​。
• 结论：所求极限为 $\frac{3}{2}$23​。也可以把分子拆成 $\frac{e^{x^2}-1}{x^2}+\frac{1-\cos x}{x^2}$x2ex2−1​+x21−cosx​，两个极限都存在，分别是 1 和 $\frac12$21​。