幂级数

本节导读

前两节的级数每一项都是常数，幂级数的每一项含有变量 $x$x，它的敛散性取决于 $x$x 取什么值。这一节要解决两件事：幂级数在哪些 $x$x 处收敛（收敛半径、收敛区间、收敛域），以及怎样把一个函数展开成幂级数。

试卷里，求幂级数的收敛半径和收敛域是常考的题，常在填空题和解答题里出现；函数的幂级数展开（用已知的五个展开式做间接展开）也是选择题和填空题的常见题型。

收敛半径、收敛区间与收敛域

形如下面的级数叫幂级数：

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$∑n=0∞​an​xn=a0​+a1​x+a2​x2+⋯

更一般的是以 $x_0$x0​ 为中心的 $\sum a_n(x - x_0)^n$∑an​(x−x0​)n。关于它的敛散性有一个基本事实：存在 $R\ (0 \leq R \leq +\infty)$R (0≤R≤+∞)，使得 $\lvert x\rvert \lt R$∣x∣<R 时幂级数绝对收敛，$\lvert x\rvert \gt R$∣x∣>R 时发散。$R$R 叫收敛半径，区间 $(-R, R)$(−R,R) 叫收敛区间，在端点 $x = \pm R$x=±R 处可能收敛也可能发散，必须单独检验。收敛点的全体叫收敛域。

收敛半径的求法：如果 $\lim_{n \to \infty}\left\lvert\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = \rho$limn→∞​​an​an+1​​​=ρ，则

$R = \begin{cases} \dfrac{1}{\rho}, & 0 \lt \rho \lt +\infty \\ +\infty, & \rho = 0 \\ 0, & \rho = +\infty \end{cases}$R=⎩⎨⎧​ρ1​,+∞,0,​0<ρ<+∞ρ=0ρ=+∞​

求收敛域的步骤是：先求 $R$R，写出收敛区间；再把两个端点分别代入，得到两个常数项级数，用上一节的方法判断；最后写出收敛域。

幂级数	$\rho$ρ	$R$R	端点情况	收敛域
$\sum\dfrac{x^n}{n}$∑nxn​	$1$1	$1$1	$x = 1$x=1 发散，$x = -1$x=−1 收敛	$[-1, 1)$[−1,1)
$\sum\dfrac{x^n}{n!}$∑n!xn​	$0$0	$+\infty$+∞	无端点	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)
$\sum n!\,x^n$∑n!xn	$+\infty$+∞	$0$0	只在 $x = 0$x=0 处收敛	$\{0\}${0}

中心不在原点的幂级数

对 $\sum\dfrac{(x-2)^n}{n\cdot 3^n}$∑n⋅3n(x−2)n​，$a_n = \dfrac{1}{n\cdot 3^n}$an​=n⋅3n1​，$\rho = \dfrac{1}{3}$ρ=31​，$R = 3$R=3，中心是 $2$2，所以收敛区间是 $(2 - 3,\ 2 + 3) = (-1, 5)$(2−3, 2+3)=(−1,5)。端点 $x = 5$x=5 时级数是 $\sum\dfrac{1}{n}$∑n1​，发散；$x = -1$x=−1 时是 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$∑n(−1)n​，收敛。收敛域是 $[-1, 5)$[−1,5)。

缺项的幂级数

缺少某些幂次的幂级数（如只有偶次幂），不能直接套 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}$an​an+1​​，要对整个通项用比值判别法。例如 $\sum\dfrac{x^{2n}}{4^n}$∑4nx2n​：

$\lim_{n \to \infty}\left\lvert\frac{x^{2n+2}/4^{n+1}}{x^{2n}/4^n}\right\rvert = \frac{x^2}{4} \lt 1\ \Longrightarrow\ \lvert x\rvert \lt 2,\quad R = 2$limn→∞​​x2n/4nx2n+2/4n+1​​=4x2​<1 ⟹ ∣x∣<2,R=2

逐项求导与积分

在收敛区间内，幂级数可以逐项求导、逐项积分，得到的新级数收敛半径不变（端点的敛散性可能改变）。这一性质可以用来求和函数。已知等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \dfrac{1}{1 - x}\ (\lvert x\rvert \lt 1)$∑n=0∞​xn=1−x1​ (∣x∣<1)，两边逐项求导：

$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2},\qquad \lvert x\rvert \lt 1$∑n=1∞​nxn−1=(1−x)21​,∣x∣<1

函数的幂级数展开

函数 $f(x)$f(x) 展开成 $x$x 的幂级数（麦克劳林级数），要记住五个常用的展开式：

函数	展开式	成立范围
$e^x$ex	$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$∑n=0∞​n!xn​	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)
$\sin x$sinx	$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$∑n=0∞​(2n+1)!(−1)nx2n+1​	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)
$\cos x$cosx	$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$∑n=0∞​(2n)!(−1)nx2n​	$(-\infty, +\infty)$(−∞,+∞)
$\dfrac{1}{1 - x}$1−x1​	$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$∑n=0∞​xn	$(-1, 1)$(−1,1)
$\ln(1 + x)$ln(1+x)	$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n}$∑n=1∞​n(−1)n−1xn​	$(-1, 1]$(−1,1]

考试中很少要求用泰勒公式直接去求，更多的是间接展开：把函数变形成上面五个函数的形式，再做变量代换，必要时逐项求导或积分。例如