极限的运算法则与计算方法

本节导读

求极限是高等数学（一）里出现得很频繁的运算：选择题、填空题常考一个小极限，解答题的第一道大题往往也是求极限。这一节把最基本的几种做法讲清楚：直接代入、因式分解约分、根式有理化、通分，以及 $x \to \infty$x→∞ 时有理函数的「抓最高次」。

学完这一节，你应该会用极限的四则运算法则，能一眼认出 $\dfrac{0}{0}$00​ 型和 $\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型，并选对方法把它们算出来。

极限的四则运算法则

设在同一个变化过程中，$\lim f(x) = A$limf(x)=A，$\lim g(x) = B$limg(x)=B，那么

$\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B,\qquad \lim [f(x)\, g(x)] = AB,\qquad \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\ (B \neq 0)$lim[f(x)±g(x)]=A±B,lim[f(x)g(x)]=AB,limg(x)f(x)​=BA​ (B=0)

常数可以提到极限号外面：$\lim [c f(x)] = cA$lim[cf(x)]=cA；乘方也可以：$\lim [f(x)]^n = A^n$lim[f(x)]n=An。使用时有两个前提：参与运算的每个极限都必须存在；做除法时分母的极限不能是 $0$0。

初等函数在它有定义的点上是连续的（连续的概念本章后面会讲），所以只要 $x_0$x0​ 在定义域内，就可以直接代入，$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)。例如

$\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x - 1) = 4 + 6 - 1 = 9,\qquad \lim_{x \to 1}\frac{x^2+1}{x+1} = \frac{2}{2} = 1$limx→2​(x2+3x−1)=4+6−1=9,limx→1​x+1x2+1​=22​=1

未定式的处理

把 $x_0$x0​ 代进去，如果分子分母同时变成 $0$0（$\dfrac{0}{0}$00​ 型），或者 $x \to \infty$x→∞ 时分子分母同时趋于无穷（$\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 型），式子的值还不能确定，这类式子叫未定式。未定式不能直接下结论，要先变形，把引起麻烦的那个因子消掉。

因式分解约分

分子分母都是多项式、代入后是 $\dfrac{0}{0}$00​ 时，说明分子分母有公因式 $(x - x_0)$(x−x0​)。因式分解后约掉它，再代入。约分是合法的，因为极限只看 $x \neq x_0$x=x0​ 时的趋势。

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}(x + 2) = 4$limx→2​x−2x2−4​=limx→2​(x+2)=4

$\lim_{x \to 1}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1}\frac{x-2}{x+1} = -\frac{1}{2}$limx→1​x2−1x2−3x+2​=limx→1​(x−1)(x+1)(x−1)(x−2)​=limx→1​x+1x−2​=−21​

根式有理化

式子里有根号时，把分子（或分母）乘它的共轭式，用平方差公式去掉根号。分子乘了什么，分母也要乘一样的式子，值才不变。

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \lim_{x \to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}$limx→0​x1+x​−1​=limx→0​x(1+x​+1)(1+x)−1​=limx→0​1+x​+11​=21​

两个根式相减、各自趋于无穷（$\infty - \infty$∞−∞ 型）时，也用这个办法：

$\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\right) = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = 0$limx→+∞​(x+1​−x​)=limx→+∞​x+1​+x​1​=0

通分

两个分式相减、各自趋于无穷时，先通分，再约分：

$\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x^2-1}\right) = \lim_{x \to 1}\frac{(x+1) - 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1}\frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2}$limx→1​(x−11​−x2−12​)=limx→1​x2−1(x+1)−2​=limx→1​(x−1)(x+1)x−1​=21​

当 x 趋于无穷时的有理函数

分子分母都是多项式、$x \to \infty$x→∞ 时，分子分母同除以 $x$x 的最高次幂，只有最高次项起作用。结论按次数比较，记成三种情况：

次数关系	极限	例子
分子次数小于分母次数	$0$0	$\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+5} = 0$limx→∞​x2+53x+1​=0
两者次数相等	最高次项系数之比	$\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+x}{3x^2-1} = \dfrac{2}{3}$limx→∞​3x2−12x2+x​=32​
分子次数大于分母次数	趋于无穷，极限不存在	$\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^3+1}{2x^2+x} = \infty$limx→∞​2x2+xx3+1​=∞

还要区分一种情形：代入后分母趋于 $0$0 而分子不趋于 $0$0，比如 $\lim_{x \to 1}\dfrac{x+2}{x-1}$limx→1​x−1x+2​。这时式子的绝对值无限变大，极限为 $\infty$∞（不存在），它不是未定式。

易错提醒

• ❌ 代入后得到 $\dfrac{0}{0}$00​，就写「结果是 $0$0」或「结果是 $1$1」
  ✅ $\dfrac{0}{0}$00​ 是未定式，必须先约分或有理化
  同一个 $\dfrac{0}{0}$00​，不同的式子极限可以是 $0$0、$1$1、$2$2 或别的数。

• ❌ 分母的极限是 $0$0，仍然套用「商的极限等于极限的商」
  ✅ 商的法则要求分母的极限不为 $0$0
  分母极限为 $0$0 时，要先变形，或者判断它是不是无穷大。

• ❌ $\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x^2+x}{3x^2-1}$limx→∞​3x2−12x2+x​ 看成 $\dfrac{\infty}{\infty} = 1$∞∞​=1
  ✅ 同除以 $x^2$x2，结果是最高次项系数之比 $\dfrac{2}{3}$32​
  $\dfrac{\infty}{\infty}$∞∞​ 不等于 $1$1。

• ❌ $\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)$limx→+∞​(x2+x​−x) 看成 $\infty - \infty = 0$∞−∞=0
  ✅ 有理化得 $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$x2+x​+xx​，极限是 $\dfrac{1}{2}$21​
  $\infty - \infty$∞−∞ 也是未定式，不能凭感觉写 $0$0。

• ❌ 有理化时只把分子乘共轭式，分母不动
  ✅ 分子分母同乘共轭式，分数的值才不变
  乘一个式子就要乘分子分母两处。

例题精讲

例题 1

求 $\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$limx→3​x2−5x+6x2−9​。

解：代入得 $\dfrac{0}{0}$00​ 型。分子 $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$x2−9=(x−3)(x+3)，分母 $x^2 - 5x + 6 = (x-3)(x-2)$x2−5x+6=(x−3)(x−2)，约去 $x - 3$x−3：

$\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3}\frac{x+3}{x-2} = \frac{6}{1} = 6$limx→3​(x−3)(x−2)(x−3)(x+3)​=limx→3​x−2x+3​=16​=6

答案：$6$6

例题 2

求 $\lim_{x \to 4}\dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$limx→4​x−4x​−2​。

解：代入得 $\dfrac{0}{0}$00​ 型。分子分母同乘 $\sqrt{x} + 2$x​+2，分母 $x - 4$x−4 可以直接保留：

$\lim_{x \to 4}\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4}\frac{x - 4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4}\frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{1}{4}$limx→4​(x−4)(x​+2)(x​−2)(x​+2)​=limx→4​(x−4)(x​+2)x−4​=limx→4​x​+21​=41​

答案：$\dfrac{1}{4}$41​

例题 3

求 $\lim_{x \to \infty}\dfrac{(2x-1)(x+3)}{3x^2 + x + 5}$limx→∞​3x2+x+5(2x−1)(x+3)​。

解：分子展开是 $2x^2 + 5x - 3$2x2+5x−3，最高次是 $x^2$x2，系数为 $2$2；分母最高次也是 $x^2$x2，系数为 $3$3。次数相等，极限是系数之比。

答案：$\dfrac{2}{3}$32​

本节小结

• 四则运算法则的前提：各个极限都存在，做除法时分母的极限不为 $0$0。初等函数在定义域内的点可直接代入。
• $\dfrac{0}{0}$00​ 型：多项式用因式分解约去公因式，含根号用有理化，两个分式之差先通分。
• $\infty - \infty$∞−∞ 型的根式差用有理化，分式差用通分，不能凭感觉写成 $0$0。
• $x \to \infty$x→∞ 时的有理函数：分子次数小于分母次数得 $0$0，相等得最高次项系数之比，大于则极限不存在（趋于无穷）。
• 分母趋于 $0$0 而分子不趋于 $0$0 时，极限为 $\infty$∞，不是未定式。