常数项级数的概念与性质

本节导读

无穷级数研究的是「无穷多个数相加」会得到什么。这一章分三节：本节讲常数项级数的基本概念、性质和两类最重要的级数；下一节讲判断敛散性的各种判别法；最后一节讲幂级数。

试卷里，级数一章以选择题、填空题为主，常考：判断级数是否收敛、等比级数求和、$p$p 级数的敛散性、收敛级数的性质，解答题则多出现在幂级数的收敛半径与收敛域。把本节的概念和两个基本级数记牢，是整章的基础。

级数的概念与敛散性

把无穷多项依次相加，得到的式子叫常数项无穷级数，简称级数：

$\sum_{n=1}^{\infty}u_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots$∑n=1∞​un​=u1​+u2​+⋯+un​+⋯

$u_n$un​ 叫通项（一般项）。前 $n$n 项的和 $S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$Sn​=u1​+u2​+⋯+un​ 叫部分和。如果当 $n \to \infty$n→∞ 时部分和有极限，即 $\lim_{n \to \infty}S_n = S$limn→∞​Sn​=S，就说级数收敛，$S$S 叫级数的和；否则就说级数发散。

所以判断一个级数是否收敛，本质上就是求部分和数列的极限。例如：

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right),\quad S_n = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$∑n=1∞​n(n+1)1​=∑n=1∞​(n1​−n+11​),Sn​=1−n+11​→1

所以它收敛，和为 $1$1。又如 $\sum n$∑n 的部分和 $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2} \to \infty$Sn​=2n(n+1)​→∞，发散；$\sum(-1)^n$∑(−1)n 的部分和在 $-1$−1 与 $0$0 之间来回摆动，没有极限，也发散。

级数的基本性质

1. 数乘：若 $\sum u_n$∑un​ 收敛于 $S$S，则 $\sum ku_n$∑kun​ 收敛于 $kS$kS；当 $k \neq 0$k=0 时，$\sum ku_n$∑kun​ 与 $\sum u_n$∑un​ 的敛散性相同。
2. 加减：若 $\sum u_n$∑un​ 收敛于 $S$S，$\sum v_n$∑vn​ 收敛于 $T$T，则 $\sum(u_n \pm v_n)$∑(un​±vn​) 收敛于 $S \pm T$S±T。收敛级数与发散级数相加减，结果一定发散；两个发散级数相加减，结果可能收敛，也可能发散。
3. 改变有限项：在级数中增加、去掉或改变有限项，不改变它的敛散性（但收敛时和可能会变）。
4. 加括号：收敛级数任意加括号后仍收敛，和不变。反过来，加括号后收敛，原级数不一定收敛，比如 $(1 - 1) + (1 - 1) + \cdots$(1−1)+(1−1)+⋯ 收敛于 $0$0，但 $1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$1−1+1−1+⋯ 是发散的。

级数收敛的必要条件

必要条件：如果级数 $\sum u_n$∑un​ 收敛，那么通项趋于零，$\lim_{n \to \infty}u_n = 0$limn→∞​un​=0。它的逆否命题给出一个最常用的发散判据：

$\lim_{n \to \infty}u_n \neq 0\ (\text{或不存在}) \Longrightarrow \sum u_n\ \text{发散}$limn→∞​un​=0 (或不存在)⟹∑un​ 发散

例如 $\sum\dfrac{n}{n+1}$∑n+1n​，通项趋于 $1$1，不趋于零，所以发散。

必要条件不是充分条件：通项趋于零，级数不一定收敛。最典型的反例是调和级数 $\sum\dfrac{1}{n}$∑n1​：通项 $\dfrac{1}{n} \to 0$n1​→0，但级数发散。

两类重要的级数

等比级数（几何级数）

$\sum_{n=0}^{\infty}aq^n = a + aq + aq^2 + \cdots\quad(a \neq 0)$∑n=0∞​aqn=a+aq+aq2+⋯(a=0)

当 $\lvert q\rvert \lt 1$∣q∣<1 时收敛，和为 $\dfrac{\text{首项}}{1 - q}$1−q首项​；当 $\lvert q\rvert \geq 1$∣q∣≥1 时发散。注意公式里分子是级数的首项，不一定是 $a$a：

级数	首项	公比	和
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$∑n=0∞​(21​)n	$1$1	$\dfrac{1}{2}$21​	$\dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$1−21​1​=2
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$∑n=1∞​(21​)n	$\dfrac{1}{2}$21​	$\dfrac{1}{2}$21​	$\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$1−21​21​​=1
$\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n$∑n=0∞​(−31​)n	$1$1	$-\dfrac{1}{3}$−31​	$\dfrac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{4}$1+31​1​=43​
$\sum_{n=0}^{\infty}2^n$∑n=0∞​2n	$1$1	$2$2	发散（$\lvert q\rvert \geq 1$∣q∣≥1）