原函数与不定积分的基本公式

本节导读

积分是求导的逆运算：已知导数，反过来求原来的函数。这一章分三节：本节学基本概念、基本公式和最简单的「直接积分法」，后两节学换元积分法和分部积分法。不定积分是后面定积分、微分方程的基础，这一章学不好，后面都会受牵连。

试卷里，不定积分常见于选择题、填空题（直接积分、验证积分结果、原函数的概念），解答题里则是各种积分方法的综合运用。

原函数与不定积分

如果在区间 $I$I 上有 $F'(x) = f(x)$F′(x)=f(x)，就说 $F(x)$F(x) 是 $f(x)$f(x) 的一个原函数。$f(x)$f(x) 的全体原函数叫做 $f(x)$f(x) 的不定积分，记作

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$∫f(x)dx=F(x)+C

其中 $\int$∫ 叫积分号，$f(x)$f(x) 叫被积函数，$f(x)\,dx$f(x)dx 叫被积表达式，$x$x 叫积分变量，$C$C 叫积分常数。

一个函数的原函数不止一个：任意两个原函数相差一个常数，所以才要写 $+ C$+C。例如 $x^2$x2、$x^2 + 1$x2+1、$x^2 - 5$x2−5 都是 $2x$2x 的原函数，$\int 2x\,dx = x^2 + C$∫2xdx=x2+C。连续函数一定有原函数。

求导和求积分互为逆运算：

$\left(\int f(x)\,dx\right)' = f(x),\qquad \int F'(x)\,dx = F(x) + C$(∫f(x)dx)′=f(x),∫F′(x)dx=F(x)+C

这给出一个检验积分结果的好办法：把结果求导，看是否等于被积函数。

基本积分公式

基本积分公式就是基本求导公式倒过来读，记不住时就倒着想「什么函数的导数是它」。先看幂函数、指数函数和 $\dfrac{1}{x}$x1​：

被积函数	积分结果
$k$k（常数）	$kx + C$kx+C
$x^{\mu}\ (\mu \neq -1)$xμ (μ=−1)	$\dfrac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$μ+1xμ+1​+C
$\dfrac{1}{x}$x1​	$\ln\lvert x \rvert + C$ln∣x∣+C
$e^x$ex	$e^x + C$ex+C
$a^x\ (a \gt 0,\ a \neq 1)$ax (a>0, a=1)	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$lnaax​+C

三角函数与反三角函数：

被积函数	积分结果
$\sin x$sinx	$-\cos x + C$−cosx+C
$\cos x$cosx	$\sin x + C$sinx+C
$\sec^2 x$sec2x	$\tan x + C$tanx+C
$\csc^2 x$csc2x	$-\cot x + C$−cotx+C
$\sec x\tan x$secxtanx	$\sec x + C$secx+C
$\dfrac{1}{1 + x^2}$1+x21​	$\arctan x + C$arctanx+C
$\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$1−x2​1​	$\arcsin x + C$arcsinx+C

幂函数公式里的 $\mu = -1$μ=−1 是例外，这时被积函数是 $\dfrac{1}{x}$x1​，积分是 $\ln\lvert x \rvert + C$ln∣x∣+C，不能套用「指数加一再除」，否则分母会出现 $0$0。

不定积分的性质与直接积分法

两条性质：和差的积分等于积分的和差，常数因子可以提到积分号外面：

$\int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx,\qquad \int kf(x)\,dx = k\int f(x)\,dx\ (k \neq 0)$∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx,∫kf(x)dx=k∫f(x)dx (k=0)

没有「乘积的积分等于积分的乘积」这样的法则。遇到乘积或分式，要先把被积函数恒等变形成基本公式能直接用的形式，这叫直接积分法。常用的变形有：

被积函数的特点	变形办法
根式、分式	化成幂：$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$x​=x21​，$\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$x21​=x−2
分子是多项式的分式	拆项：$\dfrac{x^2 + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$xx2+1​=x+x1​
乘积、乘方	先展开：$(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$(x−1)2=x2−2x+1
正切、余切的平方	$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$tan2x=sec2x−1，$\cot^2 x = \csc^2 x - 1$cot2x=csc2x−1
半角的平方	$\sin^2\dfrac{x}{2} = \dfrac{1 - \cos x}{2}$sin22x​=21−cosx​
分子分母次数相同	加一项减一项：$\dfrac{x^2}{1 + x^2} = 1 - \dfrac{1}{1 + x^2}$1+x2x2​=1−1+x21​