导数的概念与几何意义

本节导读

导数是微积分的核心概念，后面的求导法则、导数应用、微分都建立在它的定义和几何意义上。这一节先弄清「导数到底是什么」，再学会用它求切线、法线，并判断函数是否可导。

试卷里，用导数定义求极限、求曲线的切线方程或法线方程、判断分段函数在分段点是否可导，都是选择题、填空题的常见题型，解答题里也常要求写出切线方程。

导数的定义

函数 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $x_0$x0​ 处的导数，是函数增量与自变量增量之比的极限：

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$f′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​=limx→x0​​x−x0​f(x)−f(x0​)​

它表示函数在 $x_0$x0​ 处的瞬时变化率。常见记号还有 $y'$y′ 和 $\dfrac{dy}{dx}$dxdy​。如果函数在区间内每一点都可导，把每一点的导数看成 $x$x 的函数，就得到导函数 $f'(x)$f′(x)。

极限分左右两侧，所以导数也有左导数 $f'_-(x_0)$f−′​(x0​) 和右导数 $f'_+(x_0)$f+′​(x0​)，分别是 $\Delta x \to 0^-$Δx→0− 与 $\Delta x \to 0^+$Δx→0+ 时那个比值的极限。函数在 $x_0$x0​ 可导的充要条件是：左导数、右导数都存在并且相等。

用定义求导分三步：先写函数增量 $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$Δy=f(x+Δx)−f(x)，再作比值 $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ΔxΔy​，最后取极限。例如 $f(x) = x^2$f(x)=x2：

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = 2x + \Delta x \longrightarrow 2x\quad(\Delta x \to 0)$ΔxΔy​=Δx(x+Δx)2−x2​=2x+Δx⟶2x(Δx→0)

所以 $(x^2)' = 2x$(x2)′=2x。

用定义求极限的变形

试卷常给出「$f'(x_0)$f′(x0​) 存在」，让你求一个形似导数定义的极限。口诀是：分母是什么，分子里的增量就要凑成什么。设 $f'(x_0)$f′(x0​) 存在，$h \to 0$h→0：

极限	结果
$\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$hf(x0​+h)−f(x0​)​	$f'(x_0)$f′(x0​)
$\dfrac{f(x_0 + 3h) - f(x_0)}{h}$hf(x0​+3h)−f(x0​)​	$3f'(x_0)$3f′(x0​)
$\dfrac{f(x_0) - f(x_0 - h)}{h}$hf(x0​)−f(x0​−h)​	$f'(x_0)$f′(x0​)
$\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h}$hf(x0​+h)−f(x0​−h)​	$2f'(x_0)$2f′(x0​)

第四行是把分子拆成 $[f(x_0 + h) - f(x_0)] + [f(x_0) - f(x_0 - h)]$[f(x0​+h)−f(x0​)]+[f(x0​)−f(x0​−h)]，两部分各得 $f'(x_0)$f′(x0​)，所以是 $2f'(x_0)$2f′(x0​)。

导数的几何意义与切线、法线

$f'(x_0)$f′(x0​) 是曲线 $y = f(x)$y=f(x) 在点 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​) 处切线的斜率，其中 $y_0 = f(x_0)$y0​=f(x0​)。由点斜式得切线方程；法线是过切点且与切线垂直的直线，斜率是切线斜率的负倒数：

$\text{切线：}y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0),\qquad \text{法线：}y - y_0 = -\frac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)\ (f'(x_0) \neq 0)$切线：y−y0​=f′(x0​)(x−x0​),法线：y−y0​=−f′(x0​)1​(x−x0​) (f′(x0​)=0)

特殊情形：$f'(x_0) = 0$f′(x0​)=0 时切线是水平线 $y = y_0$y=y0​，法线是竖直线 $x = x_0$x=x0​。

求切线、法线方程分三步：先求切点坐标 $(x_0, y_0)$(x0​,y0​)，再求导数值 $f'(x_0)$f′(x0​)，最后代入点斜式。例如求 $y = x^2$y=x2 在点 $(1, 1)$(1,1) 处的切线和法线：$y' = 2x$y′=2x，$y'(1) = 2$y′(1)=2，切线 $y - 1 = 2(x - 1)$y−1=2(x−1)，即 $y = 2x - 1$y=2x−1；法线 $y - 1 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$y−1=−21​(x−1)，即 $y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}$y=−21​x+23​。

下面几个基本导数下一节会系统学习，这里先拿来用：$(C)' = 0$(C)′=0，$(x^n)' = nx^{n-1}$(xn)′=nxn−1，$(e^x)' = e^x$(ex)′=ex，$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$(lnx)′=x1​，$(\sin x)' = \cos x$(sinx)′=cosx，$(\cos x)' = -\sin x$(cosx)′=−sinx。

可导与连续的关系

可导一定连续，连续不一定可导。证明很短：可导时 $\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y = \lim \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x = f'(x_0) \cdot 0 = 0$limΔx→0​Δy=limΔxΔy​⋅Δx=f′(x0​)⋅0=0，这正是连续。

连续但不可导的典型例子有两类：一是尖点，比如 $y = \lvert x \rvert$y=∣x∣ 在 $x = 0$x=0 处，左导数为 $-1$−1，右导数为 $1$1，两者不等，不可导；二是切线竖直，比如 $y = \sqrt[3]{x}$y=3x​ 在 $x = 0$x=0 处，$\dfrac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = x^{-\frac{2}{3}} \to \infty$x−03x​−0​=x−32​→∞，导数不存在。

判断分段函数在分段点是否可导，或者求参数使它可导，要先保证连续，再让左导数等于右导数，两个条件各给一个方程。

易错提醒

• ❌ 求 $f'(2)$f′(2) 时，先算 $f(2) = 4$f(2)=4，再对 $4$4 求导得 $0$0
  ✅ 先求导函数 $f'(x)$f′(x)，再把 $x = 2$x=2 代入
  $f(2)$f(2) 是常数，它的导数才是 $0$0，这不是 $f'(2)$f′(2)。

• ❌ 函数连续就一定可导
  ✅ 可导一定连续，连续不一定可导
  $y = \lvert x \rvert$y=∣x∣ 在 $x = 0$x=0 处连续，却不可导。

• ❌ $\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{h} = f'(x_0)$limh→0​hf(x0​+2h)−f(x0​)​=f′(x0​)
  ✅ 等于 $2f'(x_0)$2f′(x0​)
  增量是 $2h$2h，分母是 $h$h，要补成 $2 \cdot \dfrac{f(x_0 + 2h) - f(x_0)}{2h}$2⋅2hf(x0​+2h)−f(x0​)​。

• ❌ 法线的斜率是 $-f'(x_0)$−f′(x0​)
  ✅ 法线与切线垂直，斜率是 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​
  两条垂直直线的斜率之积为 $-1$−1。

• ❌ 切线方程写成 $y = f'(x_0)(x - x_0)$y=f′(x0​)(x−x0​)
  ✅ 应是 $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$y−f(x0​)=f′(x0​)(x−x0​)
  不要漏掉切点的纵坐标 $f(x_0)$f(x0​)。

例题精讲

例题 1

设 $f'(1) = 3$f′(1)=3，求 $\lim_{h \to 0}\dfrac{f(1 + 2h) - f(1 - h)}{h}$limh→0​hf(1+2h)−f(1−h)​。

解：把分子拆成两部分：$f(1 + 2h) - f(1 - h) = [f(1 + 2h) - f(1)] + [f(1) - f(1 - h)]$f(1+2h)−f(1−h)=[f(1+2h)−f(1)]+[f(1)−f(1−h)]。第一部分除以 $h$h 的极限是 $2f'(1) = 6$2f′(1)=6，第二部分除以 $h$h 的极限是 $f'(1) = 3$f′(1)=3，相加得 $9$9。

答案：$9$9

例题 2

求曲线 $y = \ln x$y=lnx 在点 $(e, 1)$(e,1) 处的切线方程和法线方程。

解：$y' = \dfrac{1}{x}$y′=x1​，$y'(e) = \dfrac{1}{e}$y′(e)=e1​。切线：$y - 1 = \dfrac{1}{e}(x - e)$y−1=e1​(x−e)，即 $y = \dfrac{x}{e}$y=ex​。法线斜率是 $-e$−e：$y - 1 = -e(x - e)$y−1=−e(x−e)，即 $y = -ex + e^2 + 1$y=−ex+e2+1。

答案：切线 $y = \dfrac{x}{e}$y=ex​，法线 $y = -ex + e^2 + 1$y=−ex+e2+1

例题 3

设 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ ax + b, & x \gt 1 \end{cases}$f(x)={x2,ax+b,​x≤1x>1​ 在 $x = 1$x=1 处可导，求 $a$a、$b$b。

解：可导必连续。$f(1) = 1$f(1)=1，右极限 $a + b$a+b，连续要求 $a + b = 1$a+b=1。左导数 $\lim_{x \to 1^-}\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$limx→1−​x−1x2−1​=2；右导数 $\lim_{x \to 1^+}\dfrac{ax + b - 1}{x - 1}$limx→1+​x−1ax+b−1​，把 $b = 1 - a$b=1−a 代入得 $\lim\dfrac{a(x - 1)}{x - 1} = a$limx−1a(x−1)​=a。可导要求左右导数相等，所以 $a = 2$a=2，$b = -1$b=−1。

答案：$a = 2$a=2，$b = -1$b=−1

本节小结

• 导数是增量比的极限：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$f′(x0​)=limΔx→0​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​；可导的充要条件是左右导数存在且相等。
• 用定义求极限时，分母是什么，分子里的增量就要凑成什么，如 $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} \to 2f'(x_0)$hf(x0​+h)−f(x0​−h)​→2f′(x0​)。
• 几何意义：$f'(x_0)$f′(x0​) 是切线斜率。切线 $y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$y−y0​=f′(x0​)(x−x0​)，法线斜率为 $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$−f′(x0​)1​。
• 可导一定连续，连续不一定可导（尖点、竖直切线）。
• 分段点可导：先连续，再左右导数相等，各列一个方程。