向量组的线性相关性与秩

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解 $n$n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念；理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握有关性质及判别法；了解向量组的极大线性无关组和秩的概念，会求极大线性无关组及秩；了解向量组等价的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩的关系；了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法。（其中「$n$n 维」在转录资料里是公式图片，这里按教材写法补出。）

这一节的概念多，但计算上几乎都归结为一件事：把向量排成矩阵，用秩来判断。学完这一节，你应该能用秩判断线性表示与线性相关，会用初等行变换求极大无关组并写出其余向量的表示式，会做施密特正交化。

线性组合与线性表示

$n$n 个数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$a1​,a2​,…,an​ 组成的有序数组叫 $n$n 维向量，$a_i$ai​ 叫它的第 $i$i 个分量；写成一列的叫列向量（本课的 $\alpha$α、$\beta$β 都指列向量），写成一行的叫行向量，二者互为转置。分量全为 0 的是零向量 $0$0；两个 $n$n 维向量相等，指对应分量都相等。向量的加法、数乘与矩阵相同，都按分量进行。给定向量组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 和数 $k_1, \ldots, k_s$k1​,…,ks​，向量 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s$k1​α1​+k2​α2​+⋯+ks​αs​ 叫这个向量组的一个线性组合，$k_1, \ldots, k_s$k1​,…,ks​ 叫组合系数。线性组合就是「数乘再相加」，第 29 节的方程组 $Ax = b$Ax=b 也可以读成：$b$b 能否写成 $A$A 的列向量的线性组合。

若 $\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s$β=k1​α1​+k2​α2​+⋯+ks​αs​，称 $\beta$β 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 线性表示。记 $A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$A=(α1​,…,αs​)，则

• $\beta$β 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 线性表示 $\iff$⟺ 方程组 $Ax = \beta$Ax=β 有解 $\iff$⟺ $r(A) = r(A, \beta)$r(A)=r(A,β)；
• 表示法唯一 $\iff$⟺ $r(A) = r(A, \beta) = s$r(A)=r(A,β)=s；
• $r(A) \lt r(A, \beta)$r(A)<r(A,β) 时不能线性表示。

线性相关与线性无关

定义与判别

若有不全为零的数 $k_1, \ldots, k_s$k1​,…,ks​ 使 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = 0$k1​α1​+⋯+ks​αs​=0，称 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 线性相关，否则线性无关。判别方法：$\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 线性相关 $\iff$⟺ $r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) \lt s$r(α1​,…,αs​)<s $\iff$⟺ 其中至少有一个向量可由其余向量线性表示；$s = n$s=n 个 $n$n 维向量时，线性相关 $\iff$⟺ 以它们为列的行列式等于 0。

常用性质

• 含零向量的向量组线性相关；$n + 1$n+1 个 $n$n 维向量一定线性相关。
• 部分相关则整体相关；整体无关则部分无关。
• 线性无关的向量组，每个向量添上若干分量后仍线性无关。
• 若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 线性无关，而 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta$α1​,…,αs​,β 线性相关，则 $\beta$β 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$α1​,…,αs​ 唯一地线性表示。

由一个线性无关组组合出的新向量组，看组合系数矩阵：若 $(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)K$(β1​,β2​,β3​)=(α1​,α2​,α3​)K 且 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$α1​,α2​,α3​ 线性无关，则 $r(\beta_1, \beta_2, \beta_3) = r(K)$r(β1​,β2​,β3​)=r(K)。例如 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$β1​=α1​+α2​，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$β2​=α2​+α3​，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$β3​=α3​+α1​ 对应的 $K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$K=​110​011​101​​，$\lvert K \rvert = 2 \neq 0$∣K∣=2=0，所以 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$β1​,β2​,β3​ 线性无关。

极大线性无关组与向量组的秩

向量组中满足「本身线性无关、再添任何一个向量都线性相关」的部分组叫极大线性无关组，它所含向量的个数叫向量组的秩。矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩。

求法：把向量作为列排成矩阵，只作初等行变换化成行阶梯形，主元（每行首个非零元）所在的列对应的原向量构成一个极大线性无关组。化成行最简形后，还能直接读出其余向量用极大无关组表示的系数，因为初等行变换不改变列向量之间的线性关系。

等价向量组

两个向量组能够互相线性表示，称它们等价。向量组 Ⅰ 与 Ⅱ 等价 $\iff$⟺ $r(\text{Ⅰ}) = r(\text{Ⅱ}) = r(\text{Ⅰ}, \text{Ⅱ})$r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ)。等价的向量组秩相等，但秩相等的向量组不一定等价。