连续、间断点与闭区间上连续函数的性质

本节导读

常见资料转录的大纲对这一部分的要求是：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型；了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

这一节的内容可以出成选择题（判断间断点的个数与类型）、填空题（由连续性定参数），也可以出成证明题（用零点定理证明方程有根，常和第 8 节的中值定理连在一起）。学完以后，你应该能用左右极限判断任意一点的连续性和间断类型，并能写出「构造函数、验证条件、得出结论」的零点定理证明。

函数连续的概念

定义与三个条件

$f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处连续，是指

$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)

它包含三个条件：$f$f 在 $x_0$x0​ 处有定义；$\lim_{x \to x_0}f(x)$limx→x0​​f(x) 存在；极限值等于函数值。三条缺一条，$x_0$x0​ 就是间断点。也可以写成增量形式：$\Delta x \to 0$Δx→0 时 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \to 0$Δy=f(x0​+Δx)−f(x0​)→0。

左连续与右连续

$f(x_0^-) = f(x_0)$f(x0−​)=f(x0​) 叫左连续，$f(x_0^+) = f(x_0)$f(x0+​)=f(x0​) 叫右连续。函数在 $x_0$x0​ 处连续，当且仅当它在该点既左连续又右连续。分段函数在分界点的连续性，就是分别算两侧的极限，再和该点的函数值比较。由连续性求参数时，就把「左极限 = 右极限 = 函数值」列成方程。

间断点的类型

两类四种

先找出可能的间断点（没有定义的点、分段函数的分界点），再算左右极限，按下表归类：

类型	特征	例子
可去间断点（第一类）	左右极限存在且相等，但不等于函数值，或函数在该点没有定义	$\dfrac{\sin x}{x}$xsinx​ 在 $x = 0$x=0
跳跃间断点（第一类）	左右极限都存在但不相等	$\dfrac{\lvert x \rvert}{x}$x∣x∣​ 在 $x = 0$x=0
无穷间断点（第二类）	至少一侧的极限是无穷大	$\dfrac{1}{x - 1}$x−11​ 在 $x = 1$x=1
振荡间断点（第二类）	函数值来回振荡，极限不存在	$\sin\dfrac{1}{x}$sinx1​ 在 $x = 0$x=0

第一类间断点的左右极限都存在；只要有一侧极限不存在（包括为无穷大），就是第二类。可去间断点之所以叫「可去」，是因为补充或修改该点的函数值后函数就连续了。

判断的步骤

一个式子里含绝对值、分式、$e^{\frac{1}{x}}$ex1​ 时，先化简再分点讨论；约分只能在 $x$x 不等于那个点时进行，约掉的因式所对应的点仍然是间断点，只是往往变成可去的。

初等函数的连续性

基本初等函数在其定义域内连续；连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合仍然连续，所以初等函数在其定义区间内连续。这给求极限带来一个简便方法：$x_0$x0​ 在初等函数的定义区间内时，$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)，直接代入即可。

注意「定义区间」与「定义域」的差别：$\sqrt{\cos x - 1}$cosx−1​ 只在 $x = 2k\pi$x=2kπ 这些孤立点上有定义，周围没有定义区间，谈不上连续。

另一个常用的推理是：连续函数与不连续函数之和一定不连续，因为如果和连续，减去那个连续函数后剩下的也该连续。

闭区间上连续函数的性质

四个定理

设 $f(x)$f(x) 在闭区间 $[a, b]$[a,b] 上连续：

定理	结论
有界性定理	$f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上有界
最大值和最小值定理	$f(x)$f(x) 在 $[a, b]$[a,b] 上一定取得最大值 $M$M 和最小值 $m$m
介值定理	对 $m$m 与 $M$M 之间的任一数 $C$C，存在 $\xi \in [a, b]$ξ∈[a,b]，使 $f(\xi) = C$f(ξ)=C
零点定理	若 $f(a)f(b) < 0$f(a)f(b)<0，则存在 $\xi \in (a, b)$ξ∈(a,b)，使 $f(\xi) = 0$f(ξ)=0

「闭区间」和「连续」两个条件缺一不可：$\dfrac{1}{x}$x1​ 在 $(0, 1]$(0,1] 上连续但无界；$x$x 在开区间 $(0, 1)$(0,1) 上既没有最大值也没有最小值。

证明题的写法

用零点定理证明方程有根的固定套路是：把方程移项成 $F(x) = 0$F(x)=0，说明 $F$F 在闭区间上连续，算出两个端点的函数值异号，得出结论。介值定理还有一个常用推论：若 $x_1, x_2, \cdots, x_n \in [a, b]$x1​,x2​,⋯,xn​∈[a,b]，则存在 $\xi \in [a, b]$ξ∈[a,b]，使 $f(\xi)$f(ξ) 等于这 $n$n 个函数值的平均数，因为平均数一定在最小值与最大值之间。

易错提醒

• ❌ 「$f(x)$f(x) 在 $x_0$x0​ 处有极限，就在 $x_0$x0​ 处连续」。✅ 还要求 $f$f 在 $x_0$x0​ 有定义且极限等于 $f(x_0)$f(x0​)。

• ❌ 判断分段函数在分界点的连续性，只算一侧的极限。✅ 两侧的式子不同，要分别算左、右极限，再与函数值比较。

• ❌ 「只要 $f(a)f(b) < 0$f(a)f(b)<0，方程 $f(x) = 0$f(x)=0 在 $(a, b)$(a,b) 内就有根」。✅ 必须先保证 $f$f 在 $[a, b]$[a,b] 上连续；$\dfrac{1}{x}$x1​ 在 $[-1, 1]$[−1,1] 两端异号，却没有零点。

• ❌ 「函数在某点没有定义才叫可去间断点」。✅ 有定义但函数值不等于极限，也是可去间断点。

• ❌ 「连续函数在区间上一定有最大值」。✅ 要在闭区间上；开区间上的连续函数不一定有最值。

例题精讲

例题 1（填空题：由连续性定参数）

设 $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(1 + ax)}{x}, & x \neq 0 \\ 3, & x = 0 \end{cases}$f(x)=⎩⎨⎧​xln(1+ax)​,3,​x=0x=0​ 在 $x = 0$x=0 处连续，则 $a =$a= ______。

答案：$3$3

解析：$\ln(1 + ax) \sim ax$ln(1+ax)∼ax，所以 $\lim_{x \to 0}f(x) = a$limx→0​f(x)=a；连续要求 $a = f(0) = 3$a=f(0)=3。

例题 2（选择题：间断点的类型）

函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - x}{\lvert x \rvert (x^2 - 1)}$f(x)=∣x∣(x2−1)x2−x​ 的间断点及类型是（　）。

A. 只有 $x = 0$x=0 一个跳跃间断点 B. $x = 0$x=0 为跳跃间断点，$x = 1$x=1 为可去间断点，$x = -1$x=−1 为无穷间断点 C. 三个间断点都是无穷间断点 D. $x = 0$x=0 为可去间断点，$x = \pm 1$x=±1 为无穷间断点

答案：B

解析：没有定义的点是 $x = 0$x=0、$\pm 1$±1。$x \neq 1$x=1 时约分得 $f(x) = \dfrac{x}{\lvert x \rvert (x + 1)}$f(x)=∣x∣(x+1)x​。$x \to 0^-$x→0− 时 $\dfrac{x}{\lvert x \rvert} = -1$∣x∣x​=−1，左极限 $-1$−1；$x \to 0^+$x→0+ 时右极限 $1$1，是跳跃间断点。$x \to 1$x→1 时极限 $\dfrac{1}{1 \times 2} = \dfrac{1}{2}$1×21​=21​，是可去间断点。$x \to -1$x→−1 时分母趋于零、分子不趋于零，是无穷间断点。

例题 3（解答题：零点定理）

证明方程 $x \cdot 2^{x} = 1$x⋅2x=1 在区间 $(0, 1)$(0,1) 内至少有一个实根。

答题要点示范：

1. 构造函数：令 $F(x) = x \cdot 2^{x} - 1$F(x)=x⋅2x−1，它是初等函数，在 $[0, 1]$[0,1] 上连续。
2. 算端点：$F(0) = -1 < 0$F(0)=−1<0，$F(1) = 2 - 1 = 1 > 0$F(1)=2−1=1>0。
3. 结论：由零点定理，存在 $\xi \in (0, 1)$ξ∈(0,1)，使 $F(\xi) = 0$F(ξ)=0，即方程在 $(0, 1)$(0,1) 内至少有一个实根。

点评：「连续」这一句不能省，它是零点定理的条件。题目如果还问「有且仅有一个根」，再用导数证明 $F(x)$F(x) 单调（第 10 节）。

本节小结

• 连续的三个条件：有定义、极限存在、极限等于函数值；分界点要分左右。
• 间断点：左右极限都存在的是第一类（相等为可去，不等为跳跃），否则是第二类（无穷、振荡等）。
• 初等函数在定义区间内连续，求极限可以直接代入；连续加不连续一定不连续。
• 闭区间上的连续函数有界、有最值、取遍介于最值之间的一切值；端点异号就有零点。
• 证明方程有根：构造函数、说明连续、端点异号、写结论。