常系数非齐次方程与微分方程的应用

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；会用微分方程解决一些简单的应用问题。

非齐次方程 $y'' + py' + qy = f(x)$y′′+py′+qy=f(x) 的通解 = 对应齐次方程的通解 $Y$Y + 一个特解 $y^{*}$y∗。上一节已经会求 $Y$Y，这一节的重点是按自由项 $f(x)$f(x) 的形式设出特解，再代入方程定系数（待定系数法）。学完这一节，你应该能正确写出特解形式，并会把应用问题翻译成微分方程。

自由项为多项式乘指数函数

特解的设法

当 $f(x) = P_m(x)e^{\lambda x}$f(x)=Pm​(x)eλx（$P_m$Pm​ 是 $m$m 次多项式）时，设

$y^{*} = x^k Q_m(x)e^{\lambda x}$y∗=xkQm​(x)eλx

其中 $Q_m(x)$Qm​(x) 是系数待定的 $m$m 次多项式（要写全各次项）；$\lambda$λ 不是特征根时 $k = 0$k=0，是单根时 $k = 1$k=1，是二重根时 $k = 2$k=2。自由项是纯多项式时取 $\lambda = 0$λ=0，是纯指数函数时取 $m = 0$m=0。

一个完整的演示

求 $y'' - 3y' + 2y = 2e^{x}$y′′−3y′+2y=2ex 的一个特解：特征根为 1 和 2，$\lambda = 1$λ=1 是单根，设 $y^{*} = Axe^{x}$y∗=Axex，则 $\left(y^{*}\right)' = A(1 + x)e^{x}$(y∗)′=A(1+x)ex，$\left(y^{*}\right)'' = A(2 + x)e^{x}$(y∗)′′=A(2+x)ex。代入得 $A(2 + x) - 3A(1 + x) + 2Ax = -A = 2$A(2+x)−3A(1+x)+2Ax=−A=2，$A = -2$A=−2，所以 $y^{*} = -2xe^{x}$y∗=−2xex。

自由项为正弦、余弦型

当 $f(x) = e^{\alpha x}\left[P_l(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x\right]$f(x)=eαx[Pl​(x)cosβx+Pn​(x)sinβx] 时，设

$y^{*} = x^k e^{\alpha x}\left[R_m(x)\cos\beta x + S_m(x)\sin\beta x\right]$y∗=xkeαx[Rm​(x)cosβx+Sm​(x)sinβx]

其中 $m = \max\{l, n\}$m=max{l,n}，$R_m$Rm​、$S_m$Sm​ 都是系数待定的 $m$m 次多项式；$\alpha \pm \beta i$α±βi 不是特征根时 $k = 0$k=0，是特征根时 $k = 1$k=1。即使自由项里只有余弦（或只有正弦），特解中的两项也都要设。

例如 $y'' + y = \cos 2x$y′′+y=cos2x：$\pm 2i$±2i 不是特征根，设 $y^{*} = A\cos 2x + B\sin 2x$y∗=Acos2x+Bsin2x，代入得 $-3A\cos 2x - 3B\sin 2x = \cos 2x$−3Acos2x−3Bsin2x=cos2x，$A = -\dfrac{1}{3}$A=−31​，$B = 0$B=0，$y^{*} = -\dfrac{1}{3}\cos 2x$y∗=−31​cos2x。

特解的叠加

自由项是两类函数之和 $f_1(x) + f_2(x)$f1​(x)+f2​(x) 时，分别求出 $y'' + py' + qy = f_1(x)$y′′+py′+qy=f1​(x) 与 $= f_2(x)$=f2​(x) 的特解 $y_1^{*}$y1∗​、$y_2^{*}$y2∗​，则 $y_1^{*} + y_2^{*}$y1∗​+y2∗​ 就是原方程的特解。例如 $y'' - y = x + e^{2x}$y′′−y=x+e2x：对 $x$x 设 $Ax + B$Ax+B，得 $y_1^{*} = -x$y1∗​=−x；对 $e^{2x}$e2x 设 $Ce^{2x}$Ce2x，由 $4C - C = 1$4C−C=1 得 $y_2^{*} = \dfrac{1}{3}e^{2x}$y2∗​=31​e2x，所以 $y^{*} = -x + \dfrac{1}{3}e^{2x}$y∗=−x+31​e2x。

微分方程的应用

建立方程的思路

先设出未知函数，再把题目条件翻译成含导数的等式：切线斜率是 $y'$y′，变化率是对时间的导数，速度、加速度是位移的一阶、二阶导数；题目给出含变限积分的等式时，两边求导化成微分方程。最后找出初始条件，求特解。