二重积分

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解二重积分的概念，了解二重积分的基本性质，了解二重积分的中值定理，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。按常见资料转录的大纲，数学（二）的多元积分只到二重积分，三重积分、曲线积分、曲面积分不在考查范围内（常见资料的说法，以当年大纲为准）。

二重积分的计算归结为两次定积分，关键是根据积分区域定出上下限。学完这一节，你应该能画出积分区域，选择合适的坐标系和积分次序，并在区域与被积函数有对称性时简化计算。

二重积分的概念与性质

定义与几何意义

把有界闭区域 $D$D 任意分成 $n$n 个小区域 $\Delta\sigma_i$Δσi​，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$(ξi​,ηi​)，当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$λ→0 时，

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$∬D​f(x,y)dσ=limλ→0​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​

$f \ge 0$f≥0 时，它表示以 $D$D 为底、以曲面 $z = f(x, y)$z=f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积；$f \equiv 1$f≡1 时，它等于 $D$D 的面积。

基本性质与中值定理

二重积分与定积分一样有线性性质和区域可加性，还有：

• 比较性质：在 $D$D 上 $f(x, y) \le g(x, y)$f(x,y)≤g(x,y)，则 $\iint_D f\,d\sigma \le \iint_D g\,d\sigma$∬D​fdσ≤∬D​gdσ。
• 估值性质：在 $D$D 上 $m \le f(x, y) \le M$m≤f(x,y)≤M，$S$S 为 $D$D 的面积，则 $mS \le \iint_D f\,d\sigma \le MS$mS≤∬D​fdσ≤MS。
• 中值定理：$f$f 在有界闭区域 $D$D 上连续，则 $D$D 上至少有一点 $(\xi, \eta)$(ξ,η)，使 $\iint_D f\,d\sigma = f(\xi, \eta)S$∬D​fdσ=f(ξ,η)S，$f(\xi, \eta)$f(ξ,η) 就是 $f$f 在 $D$D 上的平均值。

直角坐标下的计算

X 型与 Y 型区域

若 $D = \{(x, y) \mid a \le x \le b, \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$D={(x,y)∣a≤x≤b,φ1​(x)≤y≤φ2​(x)}（X 型），则

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\,dy$∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy

若 $D = \{(x, y) \mid c \le y \le d, \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$D={(x,y)∣c≤y≤d,ψ1​(y)≤x≤ψ2​(y)}（Y 型），则先对 $x$x 积分、再对 $y$y 积分。定限的要领：外层限是常数，内层限是外层变量的函数；内层沿坐标轴方向看，从哪条边界进入区域，哪条就是下限。

交换积分次序

有的积分按给定次序积不出来，例如内层被积函数是 $e^{x^3}$ex3、$\dfrac{\sin y}{y}$ysiny​ 这类没有初等原函数的函数，这时要交换积分次序。步骤：由原来的上下限写出区域的不等式，画出区域，再按另一种次序重新定限。

极坐标下的计算

令 $x = r\cos\theta$x=rcosθ，$y = r\sin\theta$y=rsinθ，面积元素 $d\sigma = r\,dr\,d\theta$dσ=rdrdθ：

$\iint_D f(x, y)\,d\sigma = \int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr$∬D​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫r1​(θ)r2​(θ)​f(rcosθ,rsinθ)rdr

积分区域是圆、圆环、扇形，或被积函数含 $x^2 + y^2$x2+y2 时，常用极坐标。例如 $D$D 为圆环 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$1≤x2+y2≤4 时，

$\iint_D \frac{d\sigma}{x^2 + y^2} = \int_0^{2\pi} d\theta\int_1^2 \frac{1}{r^2}\,r\,dr = 2\pi\ln 2$∬D​x2+y2dσ​=∫02π​dθ∫12​r21​rdr=2πln2

几个常见边界的极坐标方程：圆 $x^2 + y^2 = a^2$x2+y2=a2 是 $r = a$r=a；圆 $x^2 + y^2 = 2ax$x2+y2=2ax（$a > 0$a>0）是 $r = 2a\cos\theta$r=2acosθ，$-\dfrac{\pi}{2} \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$−2π​≤θ≤2π​；圆 $x^2 + y^2 = 2ay$x2+y2=2ay（$a > 0$a>0）是 $r = 2a\sin\theta$r=2asinθ，$0 \le \theta \le \pi$0≤θ≤π。