不定积分与换元积分法

本节导读

一元函数积分学本课用第 12 至 17 节共 6 节来讲：先不定积分（两节），再定积分与反常积分（两节），最后是几何应用和物理应用。常见资料转录的大纲对这一节的要求是：理解原函数的概念，理解不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法。

不定积分本身可以出成填空题，更重要的是它是定积分、微分方程的计算基础，计算不熟，后面处处卡壳。学完这一节，你应该能熟练运用基本公式，一眼看出该凑哪个微分，并会用三类代换处理根式。

原函数与不定积分

概念与关系

在区间 $I$I 上，若 $F'(x) = f(x)$F′(x)=f(x)，称 $F(x)$F(x) 是 $f(x)$f(x) 的一个原函数。同一个函数的原函数彼此只差一个常数，全体原函数记作不定积分 $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x) + C$∫f(x)dx=F(x)+C。连续函数一定有原函数（第 14 节用变上限积分证明）。

求导与积分互为逆运算：$\left[\displaystyle\int f(x)\,dx\right]' = f(x)$[∫f(x)dx]′=f(x)，$\displaystyle\int F'(x)\,dx = F(x) + C$∫F′(x)dx=F(x)+C；不定积分对加减法和数乘是线性的。

有间断点的函数

函数在区间内有跳跃间断点时，在包含这一点的区间上没有原函数，例如符号函数 $\mathrm{sgn}\,x$sgnx 在 $(-1, 1)$(−1,1) 上没有原函数（原函数必须处处可导，而导函数不会有跳跃间断点）。分段连续的函数求原函数时，各段分别积分，再调整常数使原函数在分段点连续。

基本积分公式

被积函数	积分	被积函数	积分
$x^{\mu}$xμ（$\mu \neq -1$μ=−1）	$\dfrac{x^{\mu + 1}}{\mu + 1}$μ+1xμ+1​	$\dfrac{1}{x}$x1​	$\ln\lvert x \rvert$ln∣x∣
$a^{x}$ax	$\dfrac{a^{x}}{\ln a}$lnaax​	$e^{x}$ex	$e^{x}$ex
$\sin x$sinx	$-\cos x$−cosx	$\cos x$cosx	$\sin x$sinx
$\sec^2 x$sec2x	$\tan x$tanx	$\csc^2 x$csc2x	$-\cot x$−cotx
$\tan x$tanx	$-\ln\lvert \cos x \rvert$−ln∣cosx∣	$\sec x$secx	$\ln\lvert \sec x + \tan x \rvert$ln∣secx+tanx∣
$\dfrac{1}{a^2 + x^2}$a2+x21​	$\dfrac{1}{a}\arctan\dfrac{x}{a}$a1​arctanax​	$\dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$a2−x2​1​	$\arcsin\dfrac{x}{a}$arcsinax​
$\dfrac{1}{x^2 - a^2}$x2−a21​	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert \dfrac{x - a}{x + a} \right\rvert$2a1​ln​x+ax−a​​	$\dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$x2±a2​1​	$\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2} \right\rvert$ln​x+x2±a2​​

表中各式都省略了 $+ C$+C。最后两行含 $a$a 的公式在积分里出现得很频繁，遇到二次三项式先配方，再对号入座。

第一类换元法（凑微分）

原理

$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int f(u)\,du \quad (u = \varphi(x))$∫f(φ(x))φ′(x)dx=∫f(u)du(u=φ(x))

关键是从被积式里认出「某个函数的导数」，把它和 $dx$dx 合成那个函数的微分。常用的凑法：

凑法	例子
$dx = \dfrac{1}{a}d(ax + b)$dx=a1​d(ax+b)	被积函数是 $ax + b$ax+b 的函数
$x\,dx = \dfrac{1}{2}d(x^2)$xdx=21​d(x2)	含 $x^2$x2 的函数再乘 $x$x
$\dfrac{1}{x}dx = d(\ln x)$x1​dx=d(lnx)	含 $\ln x$lnx 的函数再除以 $x$x
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx = 2d(\sqrt{x})$x​1​dx=2d(x​)	含 $\sqrt{x}$x​ 的函数再除以 $\sqrt{x}$x​
$\cos x\,dx = d(\sin x)$cosxdx=d(sinx)	正弦、余弦的奇次幂
$\dfrac{dx}{1 + x^2} = d(\arctan x)$1+x2dx​=d(arctanx)	含 $\arctan x$arctanx 的函数

例如 $\displaystyle\int\frac{(\ln x)^2}{x}dx = \int(\ln x)^2\,d(\ln x) = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$∫x(lnx)2​dx=∫(lnx)2d(lnx)=3(lnx)3​+C。