极限的定义、性质与存在准则

本节导读

极限是微积分的语言：导数、定积分、反常积分、连续都是用极限定义的。常见资料转录的大纲对这一部分的要求是：理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。

求极限的题可以出成选择题、填空题，也可以出成解答题，例如给一个递推数列，要求证明极限存在并求出它。这一节先把定义、性质和两个准则讲清，下一节再讲无穷小与两个重要极限，第 9 节讲洛必达法则与泰勒公式。学完这一节，你应该能分清什么时候要分左右极限，会用四则运算和有理化求极限，并会用夹逼准则、单调有界准则写出完整的解答。

极限的定义

数列极限

数列 $\{x_n\}${xn​} 以 $a$a 为极限，是说 $n$n 充分大以后，$x_n$xn​ 与 $a$a 的距离可以小于任意给定的正数 $\varepsilon$ε：对任意 $\varepsilon > 0$ε>0，存在正整数 $N$N，当 $n > N$n>N 时 $\lvert x_n - a \rvert < \varepsilon$∣xn​−a∣<ε。极限只与数列「后面无穷多项」有关，改变前面有限项不影响极限。

收敛数列的任一子数列都收敛于同一个极限。反过来用：如果找到两个子数列收敛到不同的值，原数列就发散，例如 $(-1)^{n}$(−1)n 的偶数项趋于 $1$1、奇数项趋于 $-1$−1。

函数极限

$\lim_{x \to x_0}f(x) = A$limx→x0​​f(x)=A 是说 $x$x 无限接近 $x_0$x0​（但不等于 $x_0$x0​）时，$f(x)$f(x) 无限接近 $A$A。要点是「不等于 $x_0$x0​」：极限与 $f$f 在 $x_0$x0​ 处有没有定义、函数值是多少都无关。$x \to \infty$x→∞ 时的极限也类似，只是 $x \to +\infty$x→+∞ 与 $x \to -\infty$x→−∞ 可能不同。

左极限与右极限

$x$x 只从左侧接近 $x_0$x0​ 时的极限叫左极限，记作 $f(x_0^-)$f(x0−​)；只从右侧接近时叫右极限，记作 $f(x_0^+)$f(x0+​)。函数极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等。

下面几种情形一定要分左右算：

情形	例子	左、右极限
分段函数的分界点	两段的式子不同	分别用两段的式子算
含 $e^{\frac{1}{x}}$ex1​，$x \to 0$x→0	$e^{\frac{1}{x}}$ex1​	左极限 $0$0，右极限 $+\infty$+∞
含 $\arctan\dfrac{1}{x}$arctanx1​，$x \to 0$x→0	$\arctan\dfrac{1}{x}$arctanx1​	左极限 $-\dfrac{\pi}{2}$−2π​，右极限 $\dfrac{\pi}{2}$2π​
含绝对值	$\dfrac{\lvert x \rvert}{x}$x∣x∣​，$x \to 0$x→0	左极限 $-1$−1，右极限 $1$1
$x \to \infty$x→∞ 时含 $e^{x}$ex 或 $\arctan x$arctanx	$\arctan x$arctanx	$x \to -\infty$x→−∞ 时 $-\dfrac{\pi}{2}$−2π​，$x \to +\infty$x→+∞ 时 $\dfrac{\pi}{2}$2π​

极限的性质

唯一性与局部有界性

极限存在则唯一。收敛数列一定有界；函数在 $x_0$x0​ 处有极限，则在 $x_0$x0​ 的某个去心邻域内有界。反过来不成立：有界数列 $(-1)^{n}$(−1)n 不收敛。

局部保号性

如果 $\lim_{x \to x_0}f(x) = A > 0$limx→x0​​f(x)=A>0，那么在 $x_0$x0​ 的某个去心邻域内 $f(x) > 0$f(x)>0（$A < 0$A<0 时同理）。反过来的形式是：如果在去心邻域内 $f(x) \geq 0$f(x)≥0 且极限存在，那么极限 $A \geq 0$A≥0。注意后者结论里的等号不能去掉。保号性在判断极值、证明题里会反复用到。

极限的四则运算

法则与适用条件

如果 $\lim f(x) = A$limf(x)=A、$\lim g(x) = B$limg(x)=B 都存在，那么和、差、积的极限分别是 $A \pm B$A±B、$AB$AB，$B \neq 0$B=0 时商的极限是 $\dfrac{A}{B}$BA​。法则的前提是两个极限都存在；遇到「$\infty - \infty$∞−∞」「$\dfrac{0}{0}$00​」这类未定式，要先变形再用法则。

两类常用变形

一是有理分式 $x \to \infty$x→∞ 时比最高次：分子分母次数相同，极限是最高次项系数之比；分子次数低，极限是 $0$0；分子次数高，极限是 $\infty$∞。

二是根式差先有理化。例如

$\lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x^2 + x} - x\right) = \lim_{x \to +\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{1}{2}$limx→+∞​(x2+x​−x)=limx→+∞​x2+x​+xx​=21​

分子分母同乘「共轭式」后，未定式 $\infty - \infty$∞−∞ 化成了能比最高次的分式。

两个存在准则

夹逼准则

如果从某项起 $y_n \leq x_n \leq z_n$yn​≤xn​≤zn​，且 $\lim y_n = \lim z_n = a$limyn​=limzn​=a，那么 $\lim x_n = a$limxn​=a。它最适合「$n$n 项和」的极限：每一项都放大成最大的那一项、缩小成最小的那一项，得到两个容易算的和。放缩之后两边的极限必须相等，否则夹不出结果。

单调有界准则

单调有界的数列必有极限。递推数列 $x_{n+1} = g(x_n)$xn+1​=g(xn​) 的标准写法分三步：先用数学归纳法证有界，再证单调（作差或作商），最后在递推式两边取极限解出极限值，并按数列的范围舍去不合要求的根。顺序不能颠倒：极限存在之前，不能直接在递推式两边取极限。

易错提醒

• ❌ 「$\lim_{x \to x_0}f(x)$limx→x0​​f(x) 存在，就有 $\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)」。✅ 那是连续的定义；极限与 $x_0$x0​ 处的函数值无关，$f(x_0)$f(x0​) 甚至可以没有定义。

• ❌ 「有界数列一定收敛」。✅ 有界只是收敛的必要条件，$(-1)^{n}$(−1)n 有界但发散；单调且有界才能保证收敛。

• ❌ 对 $\infty - \infty$∞−∞ 型直接拆成两个极限相减。✅ 四则运算法则要求两个极限都存在，未定式要先通分、有理化或变形。

• ❌ 用夹逼准则时随手放缩，两边极限不相等也照写答案。✅ 两边的极限必须相等，不相等说明放缩得太松，要重新放缩。

• ❌ 递推数列不证收敛就在两边取极限。✅ 先证单调有界；例如 $x_{n+1} = 1 - x_n$xn+1​=1−xn​、$x_1 = 0$x1​=0 直接取极限会得到 $\dfrac{1}{2}$21​，但数列是 $0, 1, 0, 1, \cdots$0,1,0,1,⋯，根本不收敛。

例题精讲

例题 1（填空题）

$\lim_{x \to \infty}\dfrac{(2x + 1)^{3}(x - 3)^{2}}{(x^2 + 1)^{2}(4x - 1)} =$limx→∞​(x2+1)2(4x−1)(2x+1)3(x−3)2​= ______。

答案：$2$2

解析：分子、分母都是 5 次。分子最高次项是 $8x^3 \cdot x^2 = 8x^5$8x3⋅x2=8x5，分母是 $x^4 \cdot 4x = 4x^5$x4⋅4x=4x5，极限是系数之比 $\dfrac{8}{4} = 2$48​=2。

例题 2（解答题：夹逼准则）

求 $\lim_{n \to \infty}\sum_{k = 1}^{n}\dfrac{n}{n^2 + k}$limn→∞​∑k=1n​n2+kn​。

答题要点示范：

1. 放缩：$k$k 从 1 到 $n$n，每一项满足 $\dfrac{n}{n^2 + n} \leq \dfrac{n}{n^2 + k} \leq \dfrac{n}{n^2 + 1}$n2+nn​≤n2+kn​≤n2+1n​。
2. 求和：$\dfrac{n^2}{n^2 + n} \leq \sum_{k = 1}^{n}\dfrac{n}{n^2 + k} \leq \dfrac{n^2}{n^2 + 1}$n2+nn2​≤∑k=1n​n2+kn​≤n2+1n2​。
3. 两边当 $n \to \infty$n→∞ 时都趋于 $1$1，由夹逼准则，所求极限为 $1$1。

点评：分母里变化的只有 $k$k，把 $k$k 换成最大值 $n$n、最小值 $1$1 就得到两边。每一项都趋于 $0$0，但项数也在增加，不能说「和趋于 $0$0」。

例题 3（解答题：单调有界准则）

设 $x_1 = 1$x1​=1，$x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}$xn+1​=6+xn​​，证明 $\{x_n\}${xn​} 收敛并求其极限。

答题要点示范：

1. 有界：$x_1 = 1 < 3$x1​=1<3；若 $x_n < 3$xn​<3，则 $x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n} < \sqrt{9} = 3$xn+1​=6+xn​​<9​=3。由归纳法，$0 < x_n < 3$0<xn​<3。
2. 单调：$x_{n+1}^2 - x_n^2 = 6 + x_n - x_n^2 = (3 - x_n)(2 + x_n) > 0$xn+12​−xn2​=6+xn​−xn2​=(3−xn​)(2+xn​)>0，所以 $x_{n+1} > x_n$xn+1​>xn​，数列单调增加。
3. 由单调有界准则，极限存在，记为 $a$a。在 $x_{n+1} = \sqrt{6 + x_n}$xn+1​=6+xn​​ 两边取极限，$a = \sqrt{6 + a}$a=6+a​，即 $a^2 - a - 6 = 0$a2−a−6=0，得 $a = 3$a=3 或 $a = -2$a=−2；因为 $x_n > 0$xn​>0，舍去 $-2$−2，极限为 $3$3。

点评：上界 3 是从「不动点」$a = \sqrt{6 + a}$a=6+a​ 猜出来的，先猜后证。最后一步舍根要写理由。

本节小结

• 极限只看「无限接近但不等于」时的趋势，与该点的函数值无关；子数列极限不同则原数列发散。
• 分段点、$e^{\frac{1}{x}}$ex1​、$\arctan\dfrac{1}{x}$arctanx1​、绝对值、$x \to \infty$x→∞ 含 $e^{x}$ex 时，要分左右极限，相等才存在。
• 性质：唯一、局部有界、局部保号；「去心邻域内 $f \geq 0$f≥0」只能推出极限 $\geq 0$≥0。
• 四则运算的前提是各极限存在；有理分式比最高次，根式差先有理化。
• 夹逼准则要两边极限相等；单调有界准则按「有界、单调、取极限、舍根」四步写。