二次型

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念及惯性定理；掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形；理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

二次型的核心是一个实对称矩阵，上一节实对称矩阵的正交对角化，在这里就是「用正交变换化标准形」。学完这一节，你应该能写出二次型的矩阵，会用两种方法化标准形，会读出正、负惯性指数，并会判断正定性。

二次型及其矩阵表示

含 $n$n 个变量的二次齐次多项式叫二次型，可以写成 $f = x^{T}Ax$f=xTAx，其中 $A$A 是实对称矩阵：$a_{ii}$aii​ 是 $x_i^2$xi2​ 的系数，$a_{ij} = a_{ji}$aij​=aji​ 是 $x_ix_j$xi​xj​ 系数的一半。$A$A 的秩叫二次型的秩。例如

$f = x_1^2 + 2x_2^2 - 3x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_2x_3, \qquad A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & -3 \end{pmatrix}$f=x12​+2x22​−3x32​+4x1​x2​−2x2​x3​,A=​120​22−1​0−1−3​​

合同与惯性定理

合同变换

作可逆线性变换 $x = Cy$x=Cy，二次型变成 $f = y^{T}\left(C^{T}AC\right)y$f=yT(CTAC)y。若 $B = C^{T}AC$B=CTAC（$C$C 可逆），称 $A$A 与 $B$B 合同。合同保持对称性和秩不变。只含平方项的二次型叫标准形；平方项系数只取 $1$1、$-1$−1、$0$0 的标准形叫规范形。

惯性定理

二次型化成的标准形不唯一，但其中正系数的个数（正惯性指数 $p$p）和负系数的个数（负惯性指数 $q$q）是确定的，$p + q$p+q 等于二次型的秩。由此，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相同。$p$p、$q$q 也可以从特征值读出：正特征值的个数是 $p$p，负特征值的个数是 $q$q。

正交变换化标准形

对实对称矩阵 $A$A，存在正交矩阵 $Q$Q，使 $x = Qy$x=Qy 把二次型化为

$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2$f=λ1​y12​+λ2​y22​+⋯+λn​yn2​

其中 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$λ1​,…,λn​ 是 $A$A 的特征值，$Q$Q 的各列是对应的单位正交特征向量。步骤：写出 $A$A，求特征值，求特征向量，重特征值的特征向量施密特正交化，全部单位化后排成 $Q$Q。

配方法化标准形

先把含 $x_1$x1​ 的项集中配成完全平方，再对剩下的变量重复。例如 $f = x_1^2 + 2x_1x_2 + 3x_2^2 = \left(x_1 + x_2\right)^2 + 2x_2^2$f=x12​+2x1​x2​+3x22​=(x1​+x2​)2+2x22​，令 $y_1 = x_1 + x_2$y1​=x1​+x2​，$y_2 = x_2$y2​=x2​，得 $f = y_1^2 + 2y_2^2$f=y12​+2y22​。若二次型没有平方项，只有交叉项，可以先令 $x_1 = y_1 + y_2$x1​=y1​+y2​，$x_2 = y_1 - y_2$x2​=y1​−y2​ 造出平方项。配方法得到的系数一般不是特征值，但正、负系数的个数与正交变换的结果一致。

正定二次型

若对任意 $x \neq 0$x=0 都有 $f = x^{T}Ax > 0$f=xTAx>0，称 $f$f 正定，$A$A 为正定矩阵。$n$n 元二次型正定的几个等价条件：

• 正惯性指数 $p = n$p=n；
• $A$A 的特征值全大于 0；
• $A$A 的各阶顺序主子式全大于 0；
• 存在可逆矩阵 $C$C，使 $A = C^{T}C$A=CTC。