可降阶方程与常系数齐次线性方程

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：会用降阶法解几种特殊形式的微分方程（转录资料里这几个方程的公式没有转出来，下面按教材的常见写法讲三种）；理解线性微分方程解的性质及解的结构；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

这一节有两条线：一条是「换元降阶」，把二阶方程化成一阶方程；另一条是「特征方程」，把常系数齐次线性方程化成代数方程。学完这一节，你应该能认出三类可降阶方程，并能由特征根直接写出通解。

可降阶的高阶方程

只含 x 的方程

形如 $y^{(n)} = f(x)$y(n)=f(x) 的方程，连续积分 $n$n 次即可，每积一次加一个常数。例如 $y'' = x + \sin x$y′′=x+sinx，积一次得 $y' = \dfrac{x^2}{2} - \cos x + C_1$y′=2x2​−cosx+C1​，再积一次得 $y = \dfrac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2$y=6x3​−sinx+C1​x+C2​。

不显含 y 的方程

形如 $y'' = f(x, y')$y′′=f(x,y′) 的方程，令 $y' = p(x)$y′=p(x)，则 $y'' = \dfrac{dp}{dx}$y′′=dxdp​，方程化为关于 $p$p 与 $x$x 的一阶方程。解出 $p$p 后，再由 $y' = p$y′=p 积分一次。

不显含 x 的方程

形如 $y'' = f(y, y')$y′′=f(y,y′) 的方程，令 $y' = p$y′=p，把 $p$p 看成 $y$y 的函数，则

$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy}$y′′=dxdp​=dydp​⋅dxdy​=pdydp​

方程化为关于 $p$p 与 $y$y 的一阶方程。解出 $p = \varphi(y)$p=φ(y) 后，再解可分离变量的方程 $\dfrac{dy}{dx} = \varphi(y)$dxdy​=φ(y)。有初始条件时，最好每求出一个常数就立刻定下来，后面的计算会简单很多。

线性方程解的结构

对二阶线性方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$y′′+P(x)y′+Q(x)y=f(x) 及对应的齐次方程（$f(x) \equiv 0$f(x)≡0），有：

• 若 $y_1$y1​、$y_2$y2​ 是齐次方程的两个线性无关的解（$\dfrac{y_1}{y_2}$y2​y1​​ 不是常数），则齐次方程的通解为 $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$y=C1​y1​+C2​y2​。
• 非齐次方程的通解 = 对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解 $y^{*}$y∗。
• 非齐次方程的两个解之差是对应齐次方程的解。
• 叠加原理：若 $y_1^{*}$y1∗​、$y_2^{*}$y2∗​ 分别是自由项为 $f_1(x)$f1​(x)、$f_2(x)$f2​(x) 的方程的解，则 $y_1^{*} + y_2^{*}$y1∗​+y2∗​ 是自由项为 $f_1(x) + f_2(x)$f1​(x)+f2​(x) 的方程的解。

二阶常系数齐次方程

方程 $y'' + py' + qy = 0$y′′+py′+qy=0（$p$p、$q$q 为常数）的特征方程是 $r^2 + pr + q = 0$r2+pr+q=0，按特征根写通解：

特征根	通解
两个不等实根 $r_1 \neq r_2$r1​=r2​	$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$y=C1​er1​x+C2​er2​x
两个相等实根 $r_1 = r_2 = r$r1​=r2​=r	$y = (C_1 + C_2 x)e^{rx}$y=(C1​+C2​x)erx
一对共轭复根 $\alpha \pm \beta i$α±βi	$y = e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x\right)$y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)

反过来，已知通解或某个解，也可以由特征根还原特征方程，从而求出 $p$p、$q$q：两根之和等于 $-p$−p，两根之积等于 $q$q。