函数的概念与特性

本节导读

函数是整个高等数学的研究对象。常见资料转录的大纲对这一部分的要求是：理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

这些内容既可以出成判断奇偶性、周期性、有界性的选择题，也是后面各章的工具：计算定积分时要用奇偶性化简，应用类解答题的第一步就是把文字条件写成函数关系。学完这一节，你应该能快速求定义域、判断四种特性，会写复合函数和反函数，并能从实际问题列出函数及其定义域。

函数的概念与表示法

两个要素

函数由定义域和对应法则两个要素确定。两个函数相同，当且仅当定义域相同、对应法则也相同，与自变量用什么字母无关。例如 $f(x) = \ln x^2$f(x)=lnx2 的定义域是 $x \neq 0$x=0，$g(x) = 2\ln x$g(x)=2lnx 的定义域是 $x > 0$x>0，二者不是同一个函数，只在 $x > 0$x>0 时相等。

求定义域时，把每一处限制都列出来，最后取交集：

出现的结构	限制条件
分式 $\dfrac{u}{v}$vu​	$v \neq 0$v=0
偶次根式 $\sqrt{u}$u​	$u \geq 0$u≥0
对数 $\ln u$lnu	$u > 0$u>0
$\arcsin u$arcsinu、$\arccos u$arccosu	$-1 \leq u \leq 1$−1≤u≤1
$\tan u$tanu	$u \neq k\pi + \dfrac{\pi}{2}$u=kπ+2π​

三种表示法

函数可以用公式、表格、图形表示。公式法最常用；分段函数也是公式法，只是在定义域的不同部分用不同的式子。由参数方程或方程 $F(x, y) = 0$F(x,y)=0 确定的函数，也是用公式表示的，只是没有解成 $y = f(x)$y=f(x) 的形式。

函数的四种特性

定义与判别

特性	定义	判别要点
有界性	存在 $M > 0$M>0，使区间上 $\lvert f(x) \rvert \leq M$∣f(x)∣≤M	必须指明区间；无界要能找到使函数值任意大的点
单调性	区间内 $x_1 < x_2$x1​<x2​ 时 $f(x_1) < f(x_2)$f(x1​)<f(x2​)（或 $>$>）	学了导数后用导数的符号判断
奇偶性	定义域关于原点对称，且 $f(-x) = -f(x)$f(−x)=−f(x) 或 $f(-x) = f(x)$f(−x)=f(x)	先看定义域是否对称，再算 $f(-x)$f(−x)
周期性	存在 $T > 0$T>0，使 $f(x + T) = f(x)$f(x+T)=f(x) 对定义域内每个 $x$x 成立	通常问最小正周期

有界性离不开区间：$\dfrac{1}{x}$x1​ 在 $(1, +\infty)$(1,+∞) 上有界（$0 < \dfrac{1}{x} < 1$0<x1​<1），在 $(0, 1)$(0,1) 上无界。说「函数有界」而不说在哪个区间上，是没有意义的。

奇偶性的运算规律

判断复杂函数的奇偶性，除了直接算 $f(-x)$f(−x)，还可以用下面的规律拆开看：

• 奇函数乘奇函数、偶函数乘偶函数得偶函数；奇函数乘偶函数得奇函数。
• 奇函数加奇函数仍是奇函数；奇函数加一个不为零的偶函数，一般既不是奇函数也不是偶函数。
• 判断对数型函数时，常用 $f(x) + f(-x)$f(x)+f(−x) 是否恒为 $0$0 来判断是不是奇函数。
• 奇函数如果在 $x = 0$x=0 处有定义，必有 $f(0) = 0$f(0)=0。

周期性的几个结论

$\sin(\omega x + \varphi)$sin(ωx+φ)、$\cos(\omega x + \varphi)$cos(ωx+φ) 的最小正周期是 $\dfrac{2\pi}{\lvert \omega \rvert}$∣ω∣2π​，$\tan(\omega x + \varphi)$tan(ωx+φ) 的是 $\dfrac{\pi}{\lvert \omega \rvert}$∣ω∣π​。两个周期函数相加，如果两个周期之比是有理数，和的周期一般是两个周期的最小公倍数；比值是无理数时，和可能根本不是周期函数。

复合函数与反函数

复合函数

$y = f(u)$y=f(u)，$u = g(x)$u=g(x)，当 $g(x)$g(x) 的值落在 $f$f 的定义域里时，得到复合函数 $y = f(g(x))$y=f(g(x))。写复合函数的关键是「把 $g(x)$g(x) 整个代进 $f$f 的自变量位置」，而不是把两个函数相乘。复合函数的定义域是使 $g(x)$g(x) 有意义、且 $g(x)$g(x) 落在 $f$f 的定义域里的那些 $x$x。

反函数

$y = f(x)$y=f(x) 在区间上严格单调时，可以从中解出唯一的 $x = f^{-1}(y)$x=f−1(y)，再把字母对调得到反函数 $y = f^{-1}(x)$y=f−1(x)。反函数与原函数的图形关于直线 $y = x$y=x 对称，原函数的值域就是反函数的定义域。求反函数分三步：解出 $x$x，对调字母，写出定义域。

分段函数与隐函数

分段函数

常见的分段函数有绝对值函数、符号函数 $\mathrm{sgn}\,x$sgnx、取整函数 $[x]$[x]（不超过 $x$x 的最大整数），以及 $\max\{f(x), g(x)\}$max{f(x),g(x)} 这类「取较大者」的函数。处理分段函数的原则是「分段讨论、分界点单独看」：复合时按内层函数的值落在哪一段来分段，后面讲极限、连续、导数时，分界点都要单独用定义判断。

隐函数

由方程 $F(x, y) = 0$F(x,y)=0 确定的函数叫隐函数，例如 $e^{y} + xy = e$ey+xy=e 确定了 $y$y 是 $x$x 的函数，但无法解出 $y$y 的显式表达式。隐函数照样可以求导（第 7 节讲），不必先解出来。

基本初等函数与初等函数

类别	例子	要记住的性质
幂函数	$x^{\mu}$xμ	定义域随 $\mu$μ 变化；$\mu > 0$μ>0 时在 $(0, +\infty)$(0,+∞) 上递增
指数函数	$a^{x}$ax（$a > 0$a>0，$a \neq 1$a=1）	值域 $(0, +\infty)$(0,+∞)；$a > 1$a>1 递增，$0 < a < 1$0<a<1 递减
对数函数	$\log_a x$loga​x	定义域 $(0, +\infty)$(0,+∞)；与 $a^{x}$ax 互为反函数
三角函数	$\sin x$sinx、$\cos x$cosx、$\tan x$tanx	有界性（正弦、余弦）、周期性、奇偶性
反三角函数	$\arcsin x$arcsinx、$\arctan x$arctanx	$\arctan x$arctanx 的值域是 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$(−2π​,2π​)，是有界函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合得到、并能用一个式子表示的函数，叫初等函数。分段函数一般不是初等函数，但 $\lvert x \rvert = \sqrt{x^2}$∣x∣=x2​ 能写成一个式子，是初等函数。

函数关系的建立

应用类的解答题要先把文字条件写成函数。步骤是：设自变量，找出等量关系，写出表达式，再按实际意义写出定义域。

例如用长为 $L$L 的铁丝围成矩形，设一边长为 $x$x，另一边长就是 $\dfrac{L}{2} - x$2L​−x，面积 $S(x) = x\left(\dfrac{L}{2} - x\right)$S(x)=x(2L​−x)，定义域 $0 < x < \dfrac{L}{2}$0<x<2L​。定义域由「边长为正」决定，不能写成全体实数。

易错提醒

• ❌ 判断奇偶性时直接算 $f(-x)$f(−x)，不看定义域。✅ 定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数，例如 $x^3$x3 限制在 $[-1, 2)$[−1,2) 上就是这样。

• ❌ 复合函数 $f(g(x))$f(g(x)) 的定义域就是 $g(x)$g(x) 的定义域。✅ 还要求 $g(x)$g(x) 的值落在 $f$f 的定义域里。

• ❌ 「两个周期函数的和一定是周期函数」。✅ 周期之比是无理数时不一定，例如 $\sin x + \sin \pi x$sinx+sinπx 的两个周期 $2\pi$2π 与 $2$2 之比是无理数，它不是周期函数。

• ❌ 把反函数 $f^{-1}(x)$f−1(x) 当成倒数 $\dfrac{1}{f(x)}$f(x)1​。✅ 反函数是把自变量和因变量的关系倒过来，与取倒数无关。

• ❌ 应用题只写出表达式，不写定义域。✅ 定义域要按实际意义（长度、数量为正等）写出来。

例题精讲

例题 1（选择题）

函数 $f(x) = \ln\dfrac{1 - x}{1 + x}$f(x)=ln1+x1−x​ 是（　）。

A. 奇函数　B. 偶函数　C. 非奇非偶函数　D. 周期函数

答案：A

解析：定义域是 $-1 < x < 1$−1<x<1，关于原点对称。$f(-x) = \ln\dfrac{1 + x}{1 - x} = -\ln\dfrac{1 - x}{1 + x} = -f(x)$f(−x)=ln1−x1+x​=−ln1+x1−x​=−f(x)，所以是奇函数。

例题 2（填空题）

设 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0 \end{cases}$f(x)={x+1,x2,​x<0x≥0​，$g(x) = 2x - 1$g(x)=2x−1，则 $f(g(x)) =$f(g(x))= ______。

答案：$f(g(x)) = \begin{cases} 2x, & x < \dfrac{1}{2} \\ (2x - 1)^2, & x \geq \dfrac{1}{2} \end{cases}$f(g(x))=⎩⎨⎧​2x,(2x−1)2,​x<21​x≥21​​

解析：按内层 $g(x)$g(x) 的值分段：$g(x) < 0$g(x)<0 即 $x < \dfrac{1}{2}$x<21​ 时，$f(g(x)) = (2x - 1) + 1 = 2x$f(g(x))=(2x−1)+1=2x；$g(x) \geq 0$g(x)≥0 即 $x \geq \dfrac{1}{2}$x≥21​ 时，$f(g(x)) = (2x - 1)^2$f(g(x))=(2x−1)2。

例题 3（解答题：建立函数关系）

要建一个容积为 $V$V 的无盖圆柱形水池，底面半径为 $r$r。把水池的内表面积 $S$S 表示成 $r$r 的函数，并写出定义域。

答题要点示范：

1. 设高为 $h$h，由容积 $\pi r^2 h = V$πr2h=V 得 $h = \dfrac{V}{\pi r^2}$h=πr2V​。
2. 无盖，表面积 = 底面积 + 侧面积：$S = \pi r^2 + 2\pi r h$S=πr2+2πrh。
3. 代入 $h$h：$S(r) = \pi r^2 + \dfrac{2V}{r}$S(r)=πr2+r2V​，定义域 $r > 0$r>0。

点评：「无盖」只算一个底面；最后一步不能漏写定义域。这类函数后面会接着求最小值（第 10 节）。

本节小结

• 函数由定义域和对应法则确定，两者都相同才是同一函数；求定义域要列全限制、取交集。
• 有界性要指明区间；奇偶性先看定义域是否对称，对数型函数可看 $f(x) + f(-x)$f(x)+f(−x) 是否恒为零。
• 复合是代入不是相乘；反函数是「解出、对调、写定义域」，图形关于 $y = x$y=x 对称。
• 分段函数按段讨论，分界点单独看；隐函数不必解出也能研究。
• 应用题建立函数关系：设变量、找等量关系、写表达式、按实际意义写定义域。