初等变换与矩阵的秩

本节导读

常见资料转录的大纲对这一节的要求是：了解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

初等变换是线性代数里最常用的计算手段：求秩、求逆、解方程组、判断向量组的相关性，都靠它。学完这一节，你应该能把矩阵化成行阶梯形读出秩，会用 $(A, E)$(A,E) 求逆，并能说清左乘、右乘初等矩阵各对应什么变换。

初等变换与初等矩阵

三种初等行变换

1. 交换两行；
2. 用非零数 $k$k 乘某一行；
3. 把某一行的 $k$k 倍加到另一行上。

把「行」换成「列」就是初等列变换。任何矩阵都可以只用初等行变换化成行阶梯形（每个非零行的首个非零元所在列，从上往下严格右移，零行在最下面），再进一步化成行最简形（首个非零元都是 1，且所在列的其他元素都是 0）。

初等矩阵

对单位矩阵 $E$E 作一次初等变换得到的矩阵叫初等矩阵。它们都可逆，逆矩阵仍是同类初等矩阵：交换两行的初等矩阵的逆是它自己；第 $i$i 行乘 $k$k 的逆是第 $i$i 行乘 $\dfrac{1}{k}$k1​；把某行的 $k$k 倍加到另一行的逆是加 $-k$−k 倍。

核心性质是「左行右列」：用初等矩阵左乘 $A$A，相当于对 $A$A 作相应的初等行变换；右乘 $A$A，相当于作相应的初等列变换。$A$A 可逆的充分必要条件是 $A$A 可以写成若干初等矩阵的乘积。

矩阵的秩

定义与求法

$A$A 中不为零的子式的最高阶数叫 $A$A 的秩，记作 $r(A)$r(A)。也就是说，$r(A) = r$r(A)=r 表示 $A$A 有一个 $r$r 阶子式不为 0，而所有 $r + 1$r+1 阶子式（如果有的话）全为 0。初等变换不改变矩阵的秩，所以求秩时把矩阵化成行阶梯形，非零行的行数就是秩。

常用结论

• $0 \le r(A_{m \times n}) \le \min\{m, n\}$0≤r(Am×n​)≤min{m,n}，$r\left(A^{T}\right) = r(A)$r(AT)=r(A)；$n$n 阶方阵 $A$A 满秩（$r(A) = n$r(A)=n）当且仅当 $\lvert A \rvert \neq 0$∣A∣=0。
• $P$P、$Q$Q 可逆时 $r(PAQ) = r(A)$r(PAQ)=r(A)，即乘可逆矩阵不改变秩。
• $r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}$r(AB)≤min{r(A),r(B)}，$r(A + B) \le r(A) + r(B)$r(A+B)≤r(A)+r(B)。

矩阵的等价

$A$A 经过有限次初等变换变成 $B$B，称 $A$A 与 $B$B 等价。两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。秩为 $r$r 的 $m \times n$m×n 矩阵都等价于标准形 $\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$(Er​O​OO​)，即存在可逆矩阵 $P$P、$Q$Q，使 $PAQ$PAQ 等于这个标准形。

用初等变换求逆矩阵

对 $n$n 阶可逆矩阵 $A$A，把 $A$A 和 $E$E 并排写成 $n \times 2n$n×2n 矩阵，只作初等行变换：